В теории колебаний движение заряда в электрическом контуре или груза на пружине, можно описать уравнением линейного гармонического осциллятора. Но на практике в большинстве случаев приходится иметь дело не с одним осциллятором, а с более сложными системами - взаимодействующими между собой осцилляторами. В качестве примеров таких систем можно рассматривать колебания молекул в жидкостях и твердых телах, электрические цепи, состоящие из нескольких взаимосвязанных контуров, два математических маятника, связанные между собой пружиной.

Многие эффекты, проявляющиеся в системе с двумя степенями свободы, характерны для более сложных систем, поэтому осуществляется подробный анализ системы двух связанных осцилляторов. Такой подход позволяет перейти к рассмотрению большого, а затем и бесконечного числа связанных осцилляторов, осуществить переход к сплошной среде.

1. Два связанных осциллятора

1.1. Анализ системы двух связанных осцилляторов

Рассмотрим систему двух связанных осцилляторов на примере двух электрических контуров. Каждый контур состоит из конденсаторов с емкостью C, катушек индуктивности L₁ и L₂, связан с другим посредством общего конденсатора C₁(рис.1).

Пусть в первом контуре течет ток I₁, во втором - I₂. Пренебрегаем потерями энергии в контурах.

Тогда по первому закону Кирхгофа:

I = I₁+ I₂ Рис.1

или после интегрирования

q = q₁+ q₂, (1)

где q – заряд на обкладках конденсатора C₁, q₁, q₂ – заряды на конденсаторах C;

Совершая обходы по каждому контуру в указанных на рис. 1 направлениях, получим уравнения:

(2)

Уравнения (2) описывают систему связанных осцилляторов. Если 1/C = 0, т.е. отсутствует связь, тогда (2) переходит в систему двух независимых осцилляторов с собственными частотами

и
.

Рассматривая колебания в системе двух связанных математических маятников (рис.2), соединенных пружиной k, длиной l₁ и l₂ с одинаковыми массами m = m₁ = m₂, тогда уравнения движения запишутся в виде:

(3)

Как видно, уравнения (2) для контуров эквивалентны уравнениям (3), описывающим механическую систему. Рис.2

Способ связи осцилляторов, при котором в каждом из уравнений для несвязанных

систем появляются слагаемые, пропорциональные координате

второй системы, называется силовой связью (механические системы) или емкостной связью (колебательный контур) [1].

Аналогичным образом можно записать уравнения для системы двух связанных контуров с индуктивной связью:

Для механических систем такой способ связи называют инерционным [1].

Тип связи зависит от выбора обобщенных координат.[2 (лекция 22)] или другими словами выбором динамических переменных [1].

В общем виде уравнения движения для системы связанных маятников можно записать так [2]:

Уравнения (2) можно получить, исходя из уравнений Лагранжа – Максвелла (уравнения Лагранжа второго рода) [2]:

где T - энергия,

- это обобщенная сила. Выражение

называют так по аналогии с тем, что имеет место в декартовых координатах, где работа определяется как произведение

(X – сила,

- перемещение) [2].

Если

- такие потенциальные силы, зависящие от

, что

То уравнения для электрической цепи становятся следующими:

Где U - электрическая, а T – магнитная энергия,

- токи,

- заряды. При подстановки значений T и U в полученные уравнения приходим к уравнениям (2).

Сложим и вычтем уравнения (2), получим:

Для упрощения дифференциальных уравнений введем обозначения

и
,

откуда

Пусть для простоты

, тогда

. И после преобразований получим:

, (4)

, (5)

где

Т.о. q’ и q” - линейные комбинации обычных координат q₁ и q₂, которые называются нормальными координатами, и которым соответствуют нормальные частоты:

а соответствующие нормальным координатам гармонические колебания - собственные моды системы.

Следует отметить, что число независимых (нормальных) координат, необходимое и достаточное для однозначного определения положения системы называется числом степеней свободы системы.[2 (лекция 22)]

В случае, когда q’ = 0 (q₁ = q₂), колебания системы описываются уравнением (5), т.е. первая нормальная мода с частотой

. Ток I₁ = I₂, в обоих контурах направлены либо по часовой стрелке, либо против нее. Следовательно, ток через конденсатор C₁ не протекает. Если же q” = 0 (q₁ = - q₂), рассматривая уравнение (4), то возбуждается вторая мода с частотой

и в любой момент времени через конденсатор C проходит удвоенный ток I₁(I₂).

работа (стр. 1 из 5)

Содержание

Введение

1. Два связанных осциллятора

1.1. Анализ системы двух связанных осцилляторов