работа (стр. 4 из 5)

некоторой граничной частоты

В качестве примеров фильтров можно привести широко распространенные радиотехнические цепочки, электронные приборы СВЧ диапазона и модель кристалла, в котором пружины заменяют межатомные связи.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 5а. Пусть имеется N+2 шара, и оба конца цепи закреплены. Масса каждого шара – m и жесткость пружины k. Тогда уравнение движения для n-ой массы можно записать так:

. (22)

Введем комплексные амплитуды

Подставляя это решение в (22):

, (23)

Положим распределение амплитуд колебаний в виде

, где A и

- некоторые постоянные. Тогда из уравнения (23) следует:

(24)

Если цепочка состоит из механических маятников, то при

, (24) примет вид:

(24’)

Оба конца цепи находятся в положении равновесия:

. Из этого условия находим, что

, или

. (25)

Тогда собственные частоты определяются следующим образом:

Спектр – совокупность всех собственных частот системы [1]. Расстояние между любыми двумя точками спектра равно

. На рисунке 6, демонстрирующем зависимость

, точками отмечено положение собственных частот, лежащих в интервале между крайними точками

Рис.6

Распределение собственных частот вдоль оси

неоднородно. Увеличивая количество осцилляторов N, плотность проекций точек, изображающих собственные частоты, на эту ось будет возрастать быстрее около крайних точек.

Если

, а движущиеся элементы находятся в ограниченном объеме, то расстояние между соседними элементами стремится к нулю. Система ведет себя так, как если бы она была непрерывной, т.е. движение соседних элементов почти одинаково.

Если в нашем случае увеличивать количество масс и пружин, а их самих уменьшать, то рассматриваемая цепь переходит в струну. Картина колебаний принимает вид стоячих волн.

Стоячие волны являются нормальными модами непрерывных систем [5]. Непрерывная система имеет бесконечное число степеней свободы и соответственно бесконечным числом мод.

Общее движение системы может быть описано как суперпозиция ее мод. Амплитуды и фазовые константы определяются из начальных условий.

Назовем длиной волны – расстояние вдоль системы между двумя осцилляторами, которые колеблются в одинаковой фазе [1].

Тогда для j-го колебания можно записать:

где d – расстояние меду соседними осцилляторами,

определяется формулой (25),

- длина волны j-го колебания. Этот параметр для колебаний в пространстве имеет такой же смысл, что и период T для колебаний во времени.

Длина всей цепочки равна (N+1)d. По длине системы должно укладываться целое число полуволн – условие резонанса, которое выглядит следующим образом:

Учитывая предыдущее уравнение, получим (25).

Вводя волновое число k, равное

, имеем

Следовательно, колебания цепочки осцилляторов можно описывать в терминах стоячих волн.

Рассмотрим спектр колебаний цепочки с большим числом элементов, например модель кристалла. В любом бесконечно малом интервале частот

будет содержаться большое число собственных мод

. Поэтому вводится функция

- плотность распределения собственных частот [1]:

Тогда средняя энергия осциллятора, находящегося в состоянии теплового равновесия при температуре T определяется как:

где

- постоянная Планка,

- постоянная Больцмана.

Откуда энергия внутренней среды равна

Это полученное соотношение применяется, например, в теории теплоемкости кристаллов при известном

При

, используя формулы (24) и (25) и

, получаем:

Вблизи границ спектра

обращается в бесконечность(рис.7):

Обращение в бесконечность функции

в критических точках – особенность одномерных цепочек. Для колебаний в двумерных (пластины, мембраны) и трехмерных кристаллических решеток -

остается конечной, а ее производная терпит разрыв. Рис.7

Вид функция

зависит от структуры колебательной цепи, т.е. от количества элементов цепи разных типов на одном периоде системы и от их масс.

3. Переход к сплошной среде

Рассмотрим цепочку связанных осцилляторов – одномерную кристаллическую решетку, представляющую собой упорядоченную структуру. Другими примерами такой структуры являются цепочка, состоящая из LC-элементов, набор связанных пружинами маятников. Смещая в такой системе один элемент от положения равновесия, получаем смещение соседних элементов, т.е. по всей структуре побежит волна.

Если в уравнении Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией [1]:

, (26)

где

(связанные маятники массой m, имеющие собственную частоту

, связь между которыми осуществляется пружинами с жесткостью

), устремить

к нулю, то получим

. (27)

Это классическое волновое уравнение. Любая одномерная волна может быть описана решением (27).

Подставляя

в (26) имеем

. (28)