работа (стр. 2 из 5)

Т. о. уравнения (4), (5) можно свести к уравнениям двух независимых осцилляторов.

Обобщая: линейная консервативная система с N степенями свободы может быть представлена в виде набора N независимых осцилляторов.

Рассмотрим парциальные частоты в колебательном контуре.

Парциальной системой, соответствующей данной координате, является система, получаемая из исходной “закреплением” всех остальных координат [3].

“Закрепление” координат на примере уравнений (2) означает, что либо q₁ = 0, либо q₂ = 0.

В первом случае получим

, во втором .

Т.о. парциальные частоты определяются следующим образом:

и . (6)

При

эти частоты равны . Сравним их с нормальными частотами:

, (7)

т.о. парциальные частоты всегда лежат между нормальными.(

).

Двойное неравенство (7) наглядно демонстрирует, что введение связи в систему связанных осцилляторов увеличивает интервал между собственными частотами.

Перепишем уравнения (2) в соответствии с (6) в виде (

):

и (8)

Общее решение выглядит следующим образом:

,

, (9)

При этом

,

.

Введем обозначение

, коэффициент связи. Тогда последнее слагаемое, стоящее под корнем будет равным:

.

Связь между осцилляторами мала, если

. При этом их колебания не зависят друг то друга. В случае амплитуда колебаний осцилляторов одинакова.

Сильная связь может возникнуть если

при любых ρ, или при .

Рассмотрим передачу энергии в системе связанных осцилляторах.

Пусть в начальный момент времени

был возбужден первый контур, полагая , имеем:

, , , .

Тогда, подставляя начальные условия в (9) и выражая через , получим решения:

,

.

Во второй формуле амплитуда переменная. Передача энергии от одного колебательного контура к другому за время

сопровождается уменьшением амплитуды первого контура и увеличением Рис.3

амплитуды

второго. Получаются биения (рис.3).

1.2. Затухание в системе связанных осцилляторов

Введём затухания в линейную колебательную систему. В общем случае уравнения движения выглядят следующим образом [4]:

,

. (10)

Полагая, что

, получаем характеристическое уравнение для системы 10:

Пусть

- корни, тогда общее решение запишется в виде:

,

. (11)

Коэффициенты при каждой экспоненте связаны друг с другом соотношениями:

( ).

Когда нет трения, то

и . Наличие затухания приводит к тому, что корни либо действительные, либо комплексно сопряженные. При малых и , (11) примет вид:

,

,

где

, ,

, ,

, , , .

Таким образом, если в системе есть затухания, то общее решение – сумма двух колебаний с частотами

и , с комплексными амплитудами.

Рассмотрим затухающие колебания в LC – контуре.

Отличие такого контура от рассмотренного ранее – наличие электрического сопротивления, т.е. в колебательной системе происходит потеря энергии (в механических системах из-за трения).

В каждое уравнение добавляется новое слагаемое – падение напряжения на сопротивлении

[2]:

и

Будем искать решение в виде

, . При подстановки которых, получим

,

.

Причем, α, β и m – не известны. По отношению к α, и β эти уравнения линейны, имеют нетривиальное решение, когда детерминант равен нулю:

.

Развертывая детерминант, получаем уравнение 4-й степени:

В отсутствии сопротивления (трения) оба корня

отрицательны, , где - действительная частота.