Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.) (стр. 2 из 2)
Условие:
В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.
Найти:
АК:КС=?:?
Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая получаем
Задача №2.
Условие:
Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два.
Найти:
Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти
отношение
. Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то 
По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем
Итак,
.Доказательства теорем.
Задача №3.
Формулировка: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Условие:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказать:
Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем: 
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая
Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что
Теорема доказана.
Задача №4.
Формулировка:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказать:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: Достаточно показать, что
. Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника: 
. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: 
. Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.Задача №5.
Формулировка:
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Доказать:
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: Пусть АН1, АН2, АН3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b – х.
(ВН2)2 = с2 – х2 и (ВН2)2 = а2 – (b – х)2. приравнивая правые части полученных равенств, получаем с2 – х2 = а2 – (b – х)2, откуда х =
.Тогда b –x = b -
= 
.Итак, АН2 =
, СН2 = .Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН2 и ВСН3, ВАН1 и САН1, получим АН3 =
, ВН3 = 
и ВН1 = 
,СН1 =
.Для доказательства теоремы достаточно показать, что
. Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.
Источники информации:
Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику `Геометрия, 7-9` авторов Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова и др. (М.: Просвещение, 1990 и последующие издания). Оно полностью соответствует программе углубленного изучения математики.
Сайты:
http://festival.1september.ru
http://www.problems.ru
Вывод.
С помощью обобщения теоремы Фалеса, теорем Чевы и Менелая, не изучаемых в школьной программе, можно быстрее и легче доказывать определенные теоремы и решать более широкий круг задач. Я смогла доказать такие теоремы: теорема о пропорциональных отрезках (с помощью обобщения теоремы Фалеса), теоремы о пересечении медиан, высот и биссектрис треугольника в одной точке (воспользовалась теоремами Чевы и Менелая).