«Теорема Пифагора» (стр. 2 из 2)

3Древнеиндийское

Рис.3 (http://www.referat.ru/referats/view/2822)

Математики древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XVII века Бхаскары помещен чертеж (рис.3, а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат c² перекладывается в «кресло невесты» a²-b² (рис.3, б) Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (XVII-V век до н.э.)

4Доказательство Евклида

рис.4 (http://th-pif.narod.ru/other.htm)

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис.4) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL — квадрату АСКG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и Ð FBC=d+Ð ABC=Ð ABD. Но SABD=1/2S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC=1/2S ABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD=S FBC , имеем S BJLD= S ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL=S ACKG. Итак, S ABFH+S ACKG=S BJLD+S JCEL= S BCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли “ходульным” и “надуманным”. Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги “Начал”. Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

5Пусть T-прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (рис.5, а). Докажем, что c²=a²+b².

Рис.5 Б) (http://www.referat.ru/referats/view/2822)

Построим квадрат Q со стороной a+b (рис.5, б) На стороне квадрата Q возьмем точки А, В, С, Д так, чтобы отрезки АВ, ВС, СД, ДА отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами a и b. Четырехугольник АВСД обозначим буквой P. Покажем, что P – квадрат со стороной c. Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику T (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника T, т.е. отрезку c. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть a и b – величины острых углов треугольника T. Тогда, как вам известно, a+b=90º. Угол y при вершине А четырехугольника P вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b=180º. И так как a+b = 90°, то g =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника P прямые. Следовательно, четырехугольник P — квадрат со стороной c.

Квадрат Q со стороной a+b слагается из квадрата P со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику T. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) . Так как S(Q)=(a+b) 2; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab можно записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab.

Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+b².

6Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 6).

рис.6 (http://www.referat.ru/referats/view/2822)

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соs А=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соs В=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

7Доказательство Хоукинса

рис.7 (http://th-pif.narod.ru/other.htm)

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией AB в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
SCAA'=b²/2
SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2.Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c². Теорема доказана.

8Геометрическое доказательство методом Гарфилда

рис.8 (http://school14-v.ucoz.ru/publ/1-1-0-2)

Дано: ABC-прямоугольный треугольник.
Доказать: BC2=AB2+AC2.
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:
SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED=(DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
Ч.Т.Д.

9Доказательство Гофмана

рис.9 (http://manuscript.h1.ru/manuscript.htm?/pyphagor/theorema/gofman.htm)

Проведем отрезок BF, перпендикулярный отрезку AB и равный ему, затем отрезок CI, перпендикулярный отрезку CA и равный ему, и, наконец, проведем перпендикулярный отрезку BC и равный ему отрезок BE. Легко доказать, что точки F, A, I лежат на одной прямой. Четырехугольники IFBC и ABEC равновелики, т.к. Δ CBF = Δ ABE, Δ ICF равновелик Δ ACE. Отнимая от обоих четырехугольников общий им треугольник ABC, получим: ½ c² + ½ b² = ½ a² т.е. c² + b² = a².

VІ Применение

Теорема Пифагора издавна применялась в разных областях науки и техники, в практической жизни. Область применения теоремы достаточно обширна. Применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали ее для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. О теореме Пифагора писали в своих произведениях писатели Плутарх, инженер Витрувий, греческий ученый Диоген, математик Прокл. Не всякое математическое положение удостаивается такого внимания поэтов и писателей.

VІІ Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y² = z²). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.
Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x ,y, z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).
Некоторые Пифагоровы тройки:
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

VІІІ Заключение

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.

ІX Литература

1 Шепан Еленьский «По следам Пифагора», детгиз 1961г. занимательная математика

2 В. Ф. Асмус «Античная философия». Москва «Высшая школа» 1976г.

3 «Энциклопедический словарь юного математика», «Педагогика» 1985г.

4 Большая математическая энциклопедия для школьников.

5 Интернет источники:

http://th-pif.narod.ru/formul.html

http://bankreferatov.ru/

6М.В.Ткачева Домашняя математика, Москва, Просвещение ,1994г.

7 З.А.Скопец Геометрические миниатюры, Москва, Просвещение,1990г.