МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20»
РЕФЕРАТ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
Тригонометрические уравнения
в школьном курсе
алгебры
Ф.И.О. учащегося Клинцова Елизавета
Класс 11А
Руководитель Козак Татьяна Ивановна,
учитель математики I категории
пгт. Прогресс
2007 год
Содержание
Введение | ….. | 3 | |
1. | История тригонометрии | ….. | 4 |
1.1 История тригонометрии как науки | ….. | 4 | |
1.2 Тригонометрия как учебный предмет | ….. | 5 | |
1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года | ….. | 6 | |
1.4 Тригонометрия в школе после 1966 года | ….. | 7 | |
1.5 тригонометрия в современной школе | ….. | 7 | |
2. | Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры | ….. | 9 |
2.1 Простейшие тригонометрические уравнения | ….. | 9 | |
2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным | ….. | 12 | |
2.3 Однородные уравнения | ….. | 14 | |
2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители | ….. | 16 | |
2.5 Задачи на повторение | ….. | 17 | |
3. | Тригонометрические уравнения на экзаменах | ….. | 18 |
3.1 Специфика выпускного экзамена за курс средней полной школы | ….. | 18 | |
3.2 Тригонометрические уравнения на выпускном экзамене | ….. | 18 | |
3.2.1 Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения | ….. | 18 | |
3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4 | ….. | 20 | |
3.2.3 Тригонометрические уравнения повышенной сложности | ….. | 21 | |
Заключение | ….. | 25 | |
Используемая литература | ….. | 26 |
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц
Введение
Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название "тригонометрия" греческого происхождения, обозначающие "измерение треугольника": τρіγωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам. Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники.
В школьном курсе математики знакомство с тригонометрией начинается в 8 классе на уроках геометрии, когда вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Затем идёт расширение этого вопроса, и мы уже знакомимся с понятием синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Рассматриваются теоремы синуса и косинуса, позволяющие решать треугольники.
На уроках алгебры в 9 классе помимо этих понятий мы рассматриваем ряд формул, позволяющих преобразовывать тригонометрические выражения; находить их значения; вычислять значения тригонометрических функций по заданному значению одной из функций и другие вопросы, связанные с тригонометрией.
В курсе алгебры и начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». На уроках мы рассмотрели приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, но их оказалось немного. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая в 11 классе экзамен по выбору, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает (по типам) школьный курс алгебры и начал анализа, выпускной экзамен за курс средней полной школы.
Итак, цель моей работы:
¨ систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.
Задачи:
· повторить решение простейших тригонометрических уравнений;
· провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;
· рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на выпускном экзамене.
Используемы методы:
¨ научный (изучение литературы);
¨ исследовательский.
1. История тригонометрии
1.1 История тригонометрии как науки
Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.
Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку" а считалась частью астрономии.
Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть "линию синусов"). Линия синусов именовалась ими "архаджива", что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.
В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.
Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.