«средняя общеобразовательная школа №20» по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе (стр. 7 из 7)
№5.6.
Решите уравнение сos x = х2 + 1.
сos x £ 1 при всех значениях х.
х2 + 1 ≥ 1 при всех значениях х.
Тогда данное уравнение имеет решение только при выполнении двух условий:
сos x = 1 и х2 + 1 = 1, т.е.
х = 0.Ответ: х = 0.
II. Раздел 6:
Рассматривая тригонометрические уравнения из этого раздела, я заметила, что большая часть уравнений относится к тем, которые решаются а) разложением на множители: №6.23; 6.25; 6.26; 6.27; 6.28; 6.31; 6.32; 6.33; 6.34; 6.35; 6.36; 6.37; 6.38; 6.40; 6.43; 6.44; 6.45; 6.46; 6.47; 6.48; 6.51; 6.52; 6.54; 6.60; 6.61; 6.62; 6.63; 6.65; 6.67; 6.68; 6.74; 6.75; 6.81; 6.82.
Далее по количеству следуют б) уравнения, сводящиеся к квадратным: №6.24; 6.39; 6.41; 6.43; 6.44; 6.53; 6.55; 6.56; 6.57; 6.58; 6.59; 6.64; 6.69; 6.70; 6.71; 6.72; 6.77; 6.78; 6.79; 6.80.
Кроме этого есть уравнения, которые после преобразований с применением соответствующих формул тригонометрии сводятся к в) простейшим: №6.29; 6.48; 6.50; 6.66; 6.76.
В этом разделе всего лишь три уравнения, которые решаются как г) однородные: №6.42; 6.46; 6.65.
С решением таких уравнений мы сталкиваемся и на уроках алгебры, поэтому я не привожу решение таких уравнений, о них говорилось выше.
Здесь же есть ещё и уравнения, которые решаются совершенно незнакомым мне методом – д) методом вспомогательного угла: №6.46; 6.65; 6.73; 6.74; 6.75.
В чём суть этого метода?
Рассмотрим уравнение вида Аsin х + Всos x = С, где А, В, С – некоторые числа и А×В ≠ 0. Так как А2 + В2 > 0, то разделив обе части данного уравнения на число
, перепишем уравнение в виде аsin х + всos x = с, где 
, 
Так как а2 + в2 = 1, то можно подобрать такой угол α, что а = sin α и в = сos α. Тогда уравнение аsin х + всos x = с можно записать в виде сos x сos α + sin х sin α = с, или в виде сos (x – α) = с.
Если подобрать такой угол β, что а = сos β и в = sin β, то уравнение аsin х + всos x = с можно записать в виде sin (х + β) = с.
Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.
Решу этим методом №6.74.
sin 2х + 2sin2 х – 1 = 2сos x,
sin 2х + 2 × – 1 = 2сos x,
sin 2х + 1 – сos 2x – 1 = 2сos x,
sin 2х – сos 2x = 2сos x.
Разделим все члены уравнения на число
. Получим: 
sin 2х – сos 2x = сos x,
– (сos 2x – sin 2х) = сos x,
– (сos 
сos 2x – sin sin 2х) = сos x,
– сos (2x + ) = сos x,
сos (2x + ) + сos x = 0,
2сos ( + 
)сos ( + ) = 0,
сos ( + 
) = 0 или сos ( + ) = 0,
+ = 
+ πn, n Î Z + = + πk, k Î Z,
= 
+ πn, n Î Z = + πk, k Î Z,
xn = 
xk = 
Ответ: xn = 
, xk = 
Хочется ещё раз отметить, что при решении этого уравнения использовался не только метод вспомогательного угла, но и метод разложения на множители.
В этом разделе предлагаются также е) уравнения, решаемые методом оценки обеих частей: №6.83; 6.84; 6.85; 6.86; 6.87; 6.88 и два ж) иррациональных тригонометрических уравнения: №6.77; 6.78.
№6.83.
sin х = х2 + 2х + 2.
В правой части данного уравнения выделим квадрат суммы, получим:
sin х = (х + 1)2 + 1.
Оценим обе части этого уравнения:
sin х £ 1 и (х + 1)2 + 1 ≥ 1.
Чтобы данное уравнение имело решение необходимо выполнение двух условий:
sin х = 1 и (х + 1)2 + 1 = 1.
Решаем второе уравнение: х + 1 = 0,
х = – 1.
Это значение х не является решением первого уравнения sin х = 1. Значит, данное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
№6.77.
Так как правая часть уравнения неотрицательная, то и левая часть должна быть неотрицательной, т.е. сos x ≥ 0.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
10сos2 x = 4сos x – сos 2x,
10 сos2 x = 4сos x – (2сos2 x – 1),
12сos2 x – 4сos x – 1 = 0.
Пусть сos x = t, тогда 12t2 – 4t – 1 = 0,
t1 = , t2 = – .
Если t = , то сos x = ,
х = ± arccos + 2πn, n Î Z,
х = ± + 2πn, n Î Z.
Если t = – , то сos x = – ,
корней нет, т. к. сos x ≥ 0.
Ответ: х = ± + 2πn, n Î Z.
Заключение
Изучив литературу по выбранной теме, я узнала очень много интересных фактов из истории развития тригонометрии как науки, узнала очень много до сих пор не известных мне имён математиков прошлого.
Я повторила решение тригонометрических уравнений школьного курса алгебры и научилась решать уравнения методом введения вспомогательного угла – такие уравнения встречаются в сборнике для проведения итоговой аттестации выпускников.
Кроме этого мне показался интересным ещё один способ решения уравнений: метод оценки.
Кроме этого я сделала классификацию уравнений по способу их решения, что, я надеюсь, поможет моему преподавателю в дальнейшей работе при изучении данной темы.
Я планирую продолжить эту работу и рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на ЕГЭ.
Используемая литература
1. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2003.
2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.
3. Королёв С. В. Тригонометрия на экзамене по математике: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.
4. Решетников Н. Н. Материалы курса «Тригонометрия в школе». Лекции 1 – 8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.