«средняя общеобразовательная школа №20» по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе (стр. 5 из 7)
Уравнения вида а × sin mх + в × сos mx = 0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят на сos mx.
II) Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени. При n = 2 имеем однородное уравнение вида а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0.
Если коэффициент а отличен от нуля, т. е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сos 2x. Что это даст?
Мы получим уравнение равносильное данному уравнению: а × tg2 x + в × tg x + с = 0. Далее решение уравнения сводится к решению квадратного уравнения относительно tg x.
Таким методом решаются следующие номера из учебника: № 169, 170(а,г),
III) Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0 коэффициент а равен 0, т. е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид: в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0.
Это уравнение можно решить разложением на множители:
сos x(в × sin х + с × сos x) = 0,
сos x = 0 или в × sin х + с × сos x = 0.
Получилось два уравнения, о решении которых говорилось выше.
Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = 0, т. е. когда однородное уравнение имеет вид а × sin2 х + в × sin х × сos x = 0 (здесь можно вынести за скобки sin х).
Фактически получился алгоритм решения уравнения
а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0:
1) Посмотреть есть ли в уравнении член а sin2 х.
2) Если член а sin2 х в уравнении содержится (т. е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сos2 x и последующим введение новой переменной t = tg x.
3) Если член а sin2 х в уравнении не содержится (т. е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят сos x.
Также дело обстоит и в однородных уравнениях вида:
а × sin2 mх + в × sin mх × сos mx + с × сos2 mx = 0.
В учебнике для 10-11 классов к этому типу уравнений относится немного уравнений: №169, №170(а, г), №171(в), №172(а, в).
Хочется отметить, что некоторые уравнения, не являющиеся однородными, могут быть сведены к однородным после соответствующих преобразований.
№170(а).
4sin2 х – sin 2x = 3.
Применим формулы: sin 2x = 2 sin x cos x, sin2 х + сos2 x = 1. Получим:
4sin2х – 2sin x cos x = 3(sin2х + сos2 x),
4sin2 х – 2 sin x cos x – 3sin2 х – 3сos2 x = 0,
sin2х – 2sin x cos x – 3сos2 x = 0. Это однородное уравнение 2-ой степени. Разделим его на сos2 x
tg2 х – 2tg х – 3 = 0.
Пусть tg х = t, тогда: t2 – 2 t – 3 = 0.
Так как а + с = в, то t1 = – 1, t2 = 3.
Если t = – 1, то tg х = – 1,
х = arctg (– 1) + πn, nÎ Z,
хn = – 
+ πn, n Î Z.
Если t = 3, то tg х = 3,
xk = arctg 3 + πk, kÎ Z.
Ответ: хn = – + πn, n Î Z, xk = arctg 3 + πk, kÎ Z.
№171(а).
2sin2 х = 
sin 2x.
Применим формулу sin 2x = 2 sin x cos x.
2sin2х – sin x cos x = 0,
2sin x(sin x – cos x) = 0,
2sin x = 0 или sin x – cos x = 0,
sin x = 0 tg х = ,
хn = πn, n Î Z xk = arctg + πk, kÎ Z,
xk = 
+ πk, kÎ Z.
Ответ: хn = πn, n Î Z, xk = + πk, kÎ Z.
2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители
Как уже было сказано выше, одним из наиболее часто применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Поговорим теперь о нём.
Смысл этого метода таков: если уравнение f(х) = 0 возможно преобразовать к виду f1(x) × f2(x) = 0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят – к решению совокупности уравнений): f1(x) = 0; f2(x) = 0.
Этим методом целесообразно решать уравнения из № 168(а, б), 170(б, в), 171(а), 172(г), 173(а, г), 174. Но хочется заметить, что решая №171(а) и №173(а), мы придём к решению однородных уравнений первой степени.
№168(в).
tg2 x – 3 tg x = 0,
tg x( 
tg x – 3) = 0,
tg x = 0 или tg x – 3 = 0,
х = arctg 0 + πn, n Î Z tg x = 3,
хn = πn, n Î Z tg x = ,
х = arctg + πk, k Î Z,
хk = 
+ πk, k Î Z.
Ответ: хn = πn, n Î Z, хk = + πk, k Î Z.
№170(в).
sin 2х – сos x = 0,
2 sin х × сos x – сos x = 0,
сos x(2sin х – 1) = 0,
сos x = 0 или 2sin х – 1 = 0,
хn = 2πn, n Î Z 2sin х = 1,
sin х = ,
хk = (– 1)k× 
+ πk, k Î Z.
Ответ: хn = 2πn, n Î Z, хk = (– 1)k× 
+ πk, k Î Z.
№174(г).
сos 3x + сos x = 4сos 2x,
2сos × сos = 4сos 2x,
сos 2x × сos x – 2сos 2x = 0,
сos 2x(сos x – 2) = 0,
сos 2x = 0 или сos x – 2 = 0,
2х = 2πn, n Î Z сos x = 2,
х = πn, n Î Z корней нет, т.к. 2 Ï [– 1; 1].
Ответ: х = πn, n Î Z
Итак, я рассмотрела тригонометрические уравнения, предлагаемые в п.9 и п.11 учебника «Алгебра и начала анализа для10-11 классов» под редакцией А. Н. Колмогорова. Эти уравнения я решала в 10 классе.