«средняя общеобразовательная школа №20» по алгебре и началам анализа тригонометрические уравнения в школьном курсе (стр. 4 из 7)
2 sin x = – 
,
sin x = – 
,
х = (– 1)narcsin (– 
) + πn, n Î Z,
х = (– 1)n + 1 
+ πn, n Î Z.
Ответ: х = (– 1)n + 1 + πn, n Î Z.
№ 144(г).
ctg (– ) = 1,
– ctg = 1,
ctg = – 1,
= arсctg (– 1) + πn, n Î Z,
= 
+ πn, n Î Z,
х = 
+ 2πn, n Î Z.
Ответ: х = + 2πn, n Î Z.
№ 145(в).
tg ( 
) = 3,
tg ( ) = ,
= arctg + πn, n Î Z,
= + πn, n Î Z,
= πn, n Î Z,
х = 3πn, n Î Z.
Ответ: х = 3πn, n Î Z.
Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова. В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.
Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители.
Одним из самых общих методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул: cos2х = 1 – sin2х, sin2х = 1 – cos2х, 
Уравнения вида sin ах ± sin вх = 0, cos ах ± cos вх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.
Часто, особенно при решении квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной.
Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а × sin х + в × сos x = 0, а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0
2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным
Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin2x + вsin x + c = 0, аcos2x + вsin x + c = 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin2х + cos2х = 1.
В учебнике это: № 164, 165, 166, 167, 168(б, г), 171(б, г).
Покажу на примерах, как решаются такие уравнения.
№164(а).
2sin2x + sin х – 1 = 0.
Введём новую переменную: t = sin х. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t2 + t – 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни: t1 = – 1; t2 = . Тогда sin х = –1 и sin х = – . Решим каждое из получившихся простейших уравнений.
1) sin х = –1 (это частный случай),
х = 
2) sin х = – ,
х = (– 1)narcsin (–) + πk, k Î Z,
х = (– 1)k + 1 
+ πk, k Î Z.
Ответ: хn = 
хk = (– 1)k + 1 + πk, k Î Z.
№ 166(в).
4сos x = 4 – sin2x,
4сos x = 4 – (1 – cos2x),
4сos x = 4 – 1 + cos2x,
cos2x – 4сos x + 3 = 0.
Пусть cos x = t, тогда t2 – 4 t + 3 = 0.
Так как а + в + с = 0, то t1 = 1, t2 = 3.
Если t = 1, то cos x = 1,
х = 2πn, n Î Z.
Если t = 3, то cos x = 3,
корней нет, т.к. 3 Ï [– 1; 1].
Ответ: х = 2πn, n Î Z.
№ 167(б).
tg x – 2ctg x + 1 = 0.
Применим формулу: 
.
Получим: tg x – 2 × 
+ 1 = 0.
Пусть tg x = t, тогда t – + 1 = 0,
t2 + t – 2 = 0 (при условии t ≠ 0),
Так как а + в + с = 0, то t1 = 1, t2 = – 2.
Если t = 1, то tg x = 1,
х = arctg 1 + πn, n Î Z,
хn = 
+ πn, n Î Z.
Если t = – 2, то tg x = – 2,
х = arctg (– 2) + πk, kÎ Z,
xk = – arctg 2 + πk, kÎ Z.
Ответ: хn = + πn, n Î Z, xk = – arctg 2 + πk, kÎ Z.
2.3 Однородные уравнения
Здесь я рассмотрю довольно часто встречающиеся на практике тригонометрические уравнения специального вида.
Рассмотрим уравнения вида ао× sinn х + a1 × sinn – 1 х × сos x + a2 × sinn – 2 х × сos2 x + … + an × сos n x = 0, где ао, a1, a2, …, an – действительные числа. Здесь в каждом слагаемом сумма показателей степеней синуса и косинуса левой части уравнения одна и та же и равна n.
Такое уравнение называется однородным относительно sin х и сos x, а число n называют показателем однородности.
Рассмотрим более подробно однородные уравнения с показателями однородности 1 и 2, т.к. в школьном курсе алгебры рассматриваются только такие однородные уравнения.
I) Сначала скажу о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём рассмотрю только самый общий случай, когда оба коэффициента а и в отличны от нуля, т. к., если а = 0, то уравнение принимает вид в × сos x = 0, т. е. сos x = 0 – такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при в = 0 получаем sin х = 0, что тоже не требует отдельного обсуждения. Итак, при n = 1 имеем уравнение а × sin х + в × сos x = 0 – это однородное уравнение первой степени, где а ≠ 0, в ≠ 0.
Разделив обе части уравнения почленно на сos x, получим уравнение равносильное данному: а × tg x + в = 0 или tg x = – , откуда х = – arctg + πn, n Î Z.
Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя!). Мы должны быть уверены в том, что сos x отличен от нуля. Предположим, что сos x = 0. Тогда однородное уравнение а × sin х + в × сos x = 0 примет вид а × sin х = 0, т. е. sin х = 0 (ведь у нас коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и сos x = 0, и sin х = 0, а это невозможно, т. к. sin х и сos x обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на сos x – вполне благополучная операция.