Работа “Моделирование кинетики роста в условиях химиотерапии" Дисциплина: “Моделирование в медицине" Работу (стр. 2 из 3)

Если предположения (3 - 4) нарушены, то есть дисперсия возмущений непостоянна и/или значения є. связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности - нет.

Рассмотрим теперь процедуру оценивания параметров парной линейной регрессии а и b. Для того, чтобы функция СКО (2.5) достигала минимума, необходимо равенство нулю ее частных производных:

Откуда

(2.12)

2.5 Расчёт коэффициентов МНК

Степенную функцию, нелинейную по параметрам, нужно привести к линейному виду:

Логарифмируем:

Линеаризуем исходные данные:

Из 2.13 и 2.14 находим

:

Следовательно, аппроксимирующая функция будет иметь вид:

2.6. Итерационный метод наискорейшего спуска.

Рассмотрим метод наискорейшего спуска с шагом, длина которого зависит от свойств минимизируемой функции, или метод Ньютона. Он основан на квадратической аппроксимации минимизируемой функции в окрестности точки x^(k), где (k) – номер итерации Минимум квадратической функции легко найти, приравнивая ее градиент нулю. Можно сразу же вычислить положение экстремума и выбрать его в качестве следующего приближения к точке минимума. Новая итерация вычисляется по формуле:

(2.16)

Пусть f(x) - минимизируемая фукнция с векторным аргументом

. Алгоритм наискорейшего спуска реализует итерационную процедуру движения к минимуму из произвольно выбранной точки начального приближения в направлении наиболее сильного уменьшения функции, определенном в окрестности текущего значения аргумента минимизируемой функции. Такое направление противоположно направлению, задаваемому вектором градиента минимизируемой функции f(x):

(2.17)

Вычисляя точку нового приближения по формуле (2.16) и разлагая f(x^(k+1)) в ряд Тейлора, получим формулу квадратической аппроксимации f_кв(x^(k+1)):

, где

(2.18)

- матрица вторых производных:

(2.19)

Условие минимума f_кв(x^(k+1)) по

. Вычислим градиент из (2.18):

(2.20)

Для учета фактических особенностей минимизируемой функции будем использовать в (2.20) значения градиента и матрицы вторых производных, вычисленных не по аппроксимирующей f_кв(x), а непосредственно по минимизируемой функции f(x). Заменяя f_кв(x) в (2.20), найдем длину шага

(2.21)

Итак, последовательность вычислений для реализации алгоритма метода Ньютона:

1. Произвольно задать точку начального приближения x⁽⁰⁾
2. В цикле по номеру итерации k=0,1… вычислить:
1. Значение вектора градиента
   по формуле (2.17)
2. Значение матрицы вторых производных
   по формуле (2.19)
3. Значение матрицы, обратной матрице вторых производных
4. Значение шага
   по формуле (2.21)
5. Новое значение приближения x⁽⁰⁾ по формуле (2.16)
3. Закончить итерационный процесс при достижении нужного приближения.[2]

2.7. Программа расчёта коэффициентов методом наискорейшего спуска

За минимизируемую функцию возьмём сумму квадратов отклонениий (СКО) между исходными точками и аппроксимированными аналитической функцией:

(2.22)

2.8. Результаты расчёта коэффициентов методом наискорейшего спуска

За начальные приближения выберем:

За начальные приближения выберем:

Для случая со степенной функцией формулы (2) и (4) имеют следующий вид:

Итерации:

1. Первая итерация.

1. Вторая итерация.

1. Третяя итерация.

1. Четвёртая итерация.

1. Пятая итерация.

Итерационный цикл закончен, т.к. результат вычисления коэффициентов совпал с рассчитанными на ПК:

2.9. Результаты

Коэффициенты аппроксимирующей степенной функции были рассчитаны тремя способами: на ПК, безытерационным методом наименьших квадратов (метод нормальных уравнений) и методом наискорейшего спуска (метод Ньютона). Все они дали одинаковые результаты с точностью

.

3. Расчёт биологических параметров.

3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил.

Время жизни организма без лечения (T_ж(до)) рассчитывается как последний день в исходных данных плюс трое суток.

T_ж(до) = 60+3 = 63 суток

Запас жизненных сил определяют как площадь под аналитической кривой от начала заболевания до летального исхода.

(3.1)

3.2. Дозовая зависимость.

Рис. 3.2. График дозовой зависимости

Задержку роста опухоли определяют по данным дозовой зависимости.

Вводимая доза: D=0.2 МПД

Режим введения доз: 10 раз через

суток

Задержка роста опухоли:

(3.2)

3.3. Расчёт времени жизни организма после курса лечения.

Величина запаса жизненных сил не меняется со временем и является величиной постоянной. На основании этого факта можно произвести расчёт времени жизни организма после курса лечения. Поскольку при введении дозы препарата происходит задержка роста опухоли, представим этот процесс в виде аналитической кусочно-прерывной функции из 11 интервалов: первый – до первого введения дозы, остальные - после соответствующего введения дозы с задержкой в 1 сутки (Рис.3.3).