«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 1 из 9)
Чувашский республиканский институт образования
Курсовая работа
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ ПРИ РЕШЕНИИ
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Выполнила Яковлева Л. В.
учитель математики МОУ «СОШ №37
с углубленным изучением отдельных предметов»
Научный руководитель –
методист кафедры ЕНД, Хрисанова З. И.
Чебоксары – 2008
Содержание
Введение……………………………………………………………………………..........................3
§1. Место тригонометрии в школьном курсе геометрии……………………………………...4
§2. Анализ условия задачи.…………………………………………………………………......5
§3. Сущность и структура решения задач…………………………………………………......8
§4. Поиск плана решения задачи……………………………………………………………...10
§5. Классификация планиметрических задач с использованием тригонометрии………………………………………………………………………………………………......11
5.1. Решение задач методом площадей……………………………………………….….11
5.2. Решение задач на применение определения синуса и косинуса угла…………………………………………………………………………………………....16
5.3. Решение задач на применение определения тангенса и котангенса угла…………………………………………………………………………………………....19
5.4. Решение задач на применение теорем синуса и косинуса………………………....22
5.5. Решение задач с применением тождественных преобразований……………….....27
5.6. Решение практических задач с использованием тригонометрии……………….…29
Заключение……………………………………………………………………………………...….32
Список использованной литературы……………………………………………………………..33
Введение
Выбор темы «Использование тригонометрии при решении планиметрических задач» не случаен: несмотря на то, что она начинает изучаться в курсе геометрии, в курсе алгебры, подчас все вопросы приходится рассматривать «с нуля». А ведь тригонометрический материал весьма интересен и специфичен, так как находится на стыке геометрии и алгебры. В настоящее время эта тема актуальна как никогда, поскольку ЕГЭ прочно вошел в систему оценки знаний учащихся. В нем часто встречаются задачи с использованием тригонометрии, и как показали результаты его проведения, ученики очень плохо усваивают тригонометрический материал.
Тригонометрические функции играют важную роль в математике и ее приложениях. Они удобны для описания связи между сторонами и углами треугольников. Использование тригонометрии способствует утверждению взгляда на понятие функции, как на важнейшее понятие математики, связывая тем самым курс алгебры и геометрии. Велико значение тригонометрических функций в формировании диалектического мировоззрения: они, и через их посредство, многие геометрический факты находят применение в непосредственно практической деятельности, в частности, при проведении различных измерительных работ на местности, являются моделью многих периодических процессов (биение сердца, зависимость напряжения в металле от нагрузки на него и т.д.).
§1. Место тригонометрии в школьном курсе геометрии
Сейчас реформируется система образования вообще и математическое образование в частности. Задача школы заключается в формировании у учащихся общекультурных знаний и навыков. А такой подход к среднему образованию неизбежно приведет к перестройке изучения некоторых вопросов и разделов школьной математики. Ведь по окончании школы молодой человек не обязан помнить некоторые формулы и даже целые темы, но у него должно быть представление об основных математических разделах, он должен понимать вклад каждой темы в формирование научных представлений о мире, понимать общекультурную ценность этого материала, его практическое применение, место в структуре всей математики и значение в структурах других наук.
Опыт работы в школе показал, что тригонометрический материал, излагаемый в курсе геометрии по учебникам [1 и 2], оказывает недостаточное влияние на изучение тригонометрии в курсе алгебры, хотя пропедевтическая роль тригонометрического материала, изложенного в курсе геометрии, огромна: от его введения в курсе геометрии будет зависеть, насколько успешным будет изучение тригонометрии в курсе алгебры. Надо прийти к пониманию того, что тригонометрия в геометрии и тригонометрия в алгебре не являются никак не связанными отдельными дисциплинами, это – единый блок, изучение которого невозможно без получения первоначальных сведений о тригонометрии в курсе геометрии.
К тому же в результате начавшейся реформы тригонометрический материал, который ранее изучался в курсе IX класса, был перенесен в X класс. Поэтому на сегодняшний день те учащиеся, которые не пожелали учиться в старшей школе, знакомятся с этой темой только в курсе геометрии.
Это налагает еще большую ответственность на изучение первоначальных тригонометрических сведений в курсе геометрии.
Изучение тригонометрии должно осуществляться таким образом, чтобы у учащихся создалось целостное представление об этой теме. Тригонометрия – достаточно серьезный раздел математики, и к его изучению надо подходить со всей ответственностью. Не следует включать отдельные вопросы тригонометрии в другие разделы. Не следует также разделять материал на блоки, которые рассматриваются в отрыве друг от друга в разных классах, изучение материала надо осуществлять целостно, показывая все возможности применения тригонометрических знаний на примере задач с разумным практическим содержанием.
§2. Анализ условия задачи
Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.
Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требования или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи.
Задача1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
Получив задачу, мы, естественно, ее внимательно читаем. Первое, что мы можем заметить, состоит в следующем: в ней имеются определенные утверждения и требования. В ней утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно «найти катеты треугольника».
Как видим, формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи.
Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи, - это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (то есть нерасчленимых дальше) условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования.
В данной задаче можно вычленить такие элементарные условия:
1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;
2) в этот треугольник вписана окружность;
3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;
4) длина одного из этих отрезков равна 5 см;
5) длина другого отрезка равна 12 см.
Требования этой задачи можно расчленить на два элементарных.
1) найти длину одного катета треугольника;
2) найти длину другого катета треугольника.
Почему же именно эти условия вычленены из формулировки задачи? Все дело в том, что, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.
Для некоторых более сложных задач рассмотренный выше анализ (расчленение задачи на отдельные условия и требования) целесообразно продолжить. А именно установить, как устроены (из чего состоят) вычлененные условия.
Задача2. К двум окружностям, радиусы которых 4 см и 6 см, проведены внутренние общие касательные, оказавшиеся взаимно перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами окружностей.
Эта задача содержит такие условия:
1) дана окружность центра
, радиус которого равен 4 см (здесь слово «дано» означает, что эта окружность построена из произвольного центра );2) из некоторого другого центра
проведена окружность радиуса 6 см;3) эти две окружности построены так, что к ним можно провести общие внутренние касательные;
4) общие внутренние касательные к этим двум окружностям взаимно перпендикулярны.
Анализируя эти условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Так, объектом первого условия является окружность, а ее характеристикой: радиус этой окружности равен 4 см. Во втором условии объектом является также окружность с характеристикой: ее радиус равен 6 см. В третьем условии два объекта: указанные выше две окружности, а характеристикой является их взаимное расположение на плоскости: они расположены так, что к ним можно провести внутренние общие касательные. Наконец, четвертое условие содержит два объекта: общие внутренние касательные к окружностям, в качестве их характеристики указано их отношение: они взаимно перпендикулярны.