«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 9 из 9)

Задача17. Определить высоту недоступного предмета.

Решение. Предполагаем, что есть возможность перемещаться по горизонтали в направлении к предмету. Выберем два пункта и , и в каждом из них найдем угол, под которым виден предмет. Так получается геометрическая задача: в треугольнике известны сторона , и внешний угол ; найти высоту, опущенную из вершины .

Обозначим искомую высоту

через и положим , . Из треугольника высота . Поэтому надо найти . По теореме синусов . Угол внешний для треугольника . Следовательно, .

Отсюда

. Теперь мы можем вычислить , а затем .

Замечание. Важно дать понять ученикам, что условие любой практической задачи сводится к условию обычной геометрической задачи, и уже после этого ученик может решать задачу.

А вот несколько занимательных практических задач.

Задача18. Эта задача из древнего китайского трактата «Математика в девяти книгах»: «Имеется квадратный водоем со стороной в один чжан. В центре его растет камыш, который выступает над водой на один чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается, какова глубина водоема и какова длина камыша». (Чжан и чи – меры длины, 1 чжан = 10 чи.)

Задача19. Эта задача из книги польского математика Г. Штейнгауза «100 задач». Называется эта задача «Французские города».

«Доктор Шарадек, знающий хорошо стратегию, интересовался последней войной и в 1940 году познакомился с картой французского театра военных действий. Отсюда, вероятно, и возникла следующая задача. Расстояние по воздуху, как и все расстояния в этой задаче, от Шалона до Витри равно 30 км, от Витри до Шомона 80 км, от Шомона до Сэн-Кантэна 236 км, от Сэн-Кантэна до Ремса 86 км, от Ремса до Шалона 40 км. Вычислить в этом замкнутом многоугольнике расстояние от Ремса до Шомона. Без карты это умеет сделать только доктор Сильвестр Шарадек!» Но может быть, и вы попробуете?

Задача20. Какая лестница более крутая: в 20 ступенек, поднимающаяся на 3 м, или в 15 ступенек, поднимающаяся на 2 м?

Задача21. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а ее крутизна может достигать

. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?

Задача22. Корабль плывет на восток с постоянной скоростью

. В некоторый момент времени пеленг на маяк равен , а спустя время он равен . Через какое время маяк будет для этого корабля точно на севере? (Пеленг – это угол между направлением на север и направлением на маяк.)

Задача23.Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.

Задача24. Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.

Задача25. Футбольный мяч находится в точке

футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Задача26. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом

к горизонту, а вершину – под углом к горизонту. Какова высота башни?

Заключение.

В данной работе было подробно описано, каким образом улучшить усвояемость тригонометрического материала учениками, как научить их решать задачи любой сложности, логически мыслить при решении задач, а не только уметь решать по шаблону. Были собраны и проклассифицированы планиметрические задачи с использованием тригонометрии по принципу их решения, даны некоторые методические рекомендации учителям, а также общий принцип решения планиметрических задач с использованием тригонометрии.

Список использованной литературы:

1. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1997.

2. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.

3. Вернер А. Л. и др. Геометрия. Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.

4. Александров А. Д. и др. Учебник для 7-9 классов общеобразовательной школы. – М.: Просвещение, 1995.

5. Вернер А. Л. Уроки Александрова // Математика в школе. – 2002. - №7.

6. Вернер А. Л. Роль и место тригонометрии в курсе геометрии основной школы // Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 2002. - №41.

7. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи. 1999.

8. Кильдяева Л. Г. Дифференцированный подход к обучению геометрии учащихся основной школы. – Саранск, 2006.

9. Зарецкий В. И. Изучение тригонометрических функций в средней школе. – Минск, 1970.

10. Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. – М., 1967.

11. Панчишкин А. А., Шавгулидзе Е. Т. Тригонометрические функции в задачах. – М., 1986.