«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 8 из 9)

Проведем отрезок

, тогда

.

Применим к

теорему косинусов:

;

.

Значит,

.

Так как

, то .

Ответ:

.

Задача15. Дан остроугольный треугольник

, в котором ; ; . В каком отношении ортоцентр делит высоту, проведенную из вершины ?

Дано:

, , , , - высота.

Найти:

.

Решение: Опишем около

окружность, радиус которой обозначим через (вспомогательный параметр).

Проведем

и учтем, что , где - ортоцентр.

Рассмотрим

. Так как измеряется дугой , , а измеряется половиной дуги , то . Тогда .

По теореме синусов, примененной к

, , значит, , и тогда из получаем: .

;

.

Итак,

.

Ответ:

.

Замечание. Задача «решить треугольник по некоторым заданным его элементам» может рассматриваться в двух вариантах.

а) Имеется треугольник, и известны некоторые его элементы. Найти остальные его элементы.

б) Заданы некоторые отрезки и углы (или их величины). Найти (построить) треугольник, для которого заданные отрезки и углы являются заданными его элементами.

Теорема синусов позволяет решить треугольник по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу против одной из них.

5.5. Решение задач на применение тождественных преобразований.

Задача16. Около круга радиуса

описан равнобедренный треугольник с углом . Определите стороны треугольника.

Решение.

1. Анализ условия задачи. Выделим основные данные из условия задачи: а) дан круг радиуса

(пусть его центр находится в точке ); б) вокруг круга описан треугольник; в) данный треугольник равнобедренный, то есть боковые его стороны равны; г) угол, лежащий напротив основания, равен .

Вопрос задачи: необходимо найти длины сторон треугольника.

2.

Схематическая запись задачи. Сделаем рисунок и запишем краткую запись.

Дано:

, , , .

Найти:

, .

3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Так как

, то . Тогда рассмотрим : , тогда найдем по теореме синусов:

;

так как

не табличное значение, с помощью тождественных преобразований найдем его значение:

;

.

Тогда по теореме Пифагора:

;

Отсюда

.

Найдем сторону

. Так как , то , тогда .

подобен , тогда справедливо:

,

.

Так как

и равны, то , тогда ;

,

выразим

через :

,

,

.

6. Проверка решения. Так как решение задачи не зависит от параметров, то правильность решения очевидна.

7. Ответ.

, .

8. Исследование решения. Решение единственно, так как нет параметров, в зависимости от которых менялось бы решение.

5.6. Решение практических задач с использованием тригонометрии.