«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 3 из 9)

Решить задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, - ее ответ.

На приведенное определение следует смотреть как на первичное, самое общее толкование сущности решения задач.

Если под процессом решения задач понимать процесс, начинается с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1. анализ задачи;

2. схематическая запись задачи;

3. поиск способа решения задачи;

4. осуществление решения задачи;

5. проверка решения задачи;

6. исследование решения;

7. формулирование ответа задачи;

8. познавательный анализ решения задачи.

§4. Поиск плана решения задачи

Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда, оно требует лишь технических умений выполнения тех действий и операций, которые изучаются в курсе математики.

Однако начинать процесс решения задачи надо с глубокого и всестороннего анализа задачи и построения ее схематической записи, целью проведения которой является поиск плана решения задачи.

Сформулируем основные рекомендации для поиска решения математических задач.

1. Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит (стандартная, нестандартная).

2. Если вы узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то примените для ее решения известное вам общее правило.

3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:

а) вычленять из задачи или разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);

б) ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных элементов);

в) переформулировать ее, заменить ее другой равносильной задачей (способ моделирования).

4. Для того, чтобы легче было осуществлять указанные способы, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи – ее схематическую запись.

5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.

§5. Классификация планиметрических задач с использованием тригонометрии.

В основном применение тригонометрии при решении геометрических задач идет по четырем направлениям:

1) использование формулы площади треугольника;

2) использование соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

а) по определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов;

б) применение тождественных преобразований;

3) использование двух «теорем-тружеников» - теоремы синусов и теоремы косинусов;

4) при решении практических задач.

5.1. Решение задач методом площадей.

Задача1. Площадь равнобочной трапеции равна

, угол между ее диагоналями, противолежащей боковой стороне, равен . Найти высоту трапеции.

Решение.

1-2. Анализ и схематическая запись задачи. Расчленим условие задачи на несколько составляющих. Условие «площадь равнобочной трапеции равна

» говорит нам о следующем: 1) дана трапеция; б) данная трапеция равнобочная, то есть ее боковые стороны равны (а также ее диагонали); в) и площадь этой трапеции равна .

Из следующего фрагмента условия «угол между ее диагоналями, противолежащей боковой стороне, равен

» выделим следующие положения: г) в данной трапеции проведены диагонали; д) угол, образованный этими диагоналями, и лежащий напротив боковой стороны трапеции, равен .

И собственно вопрос задачи: найти высоту трапеции.

На основе полученных данных мы можем сделать краткую запись и построить схематический рисунок:

Дано:

- трапеция, , , , .

Найти: .

3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Эти три этапа процесса решения в данном случае удобно производить совместно. Мы знаем формулу нахождения площади трапеции по диагоналям и углу между ними:

,

отсюда найдем длину диагонали:

.

Рассмотрим

. Этот треугольник прямоугольный; нам известна длина диагонали и если мы можем найти один угол, то найдем и сторону . Найдем угол . , тогда . Так как точка пересечения диагоналей делит их пополам, то полученный треугольник будет равнобедренным. Так как , то сумма углов и равна , а так как углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, то каждый из них равен . Тогда по определению синуса угла найдем сторону : , отсюда

.

6. Проверка решения. В данном случае проверка решения сводится к тому, чтобы убедиться, что по найденной формуле действительно можно вычислить

такое, которое принадлежит области его определения. Очевидно, что должно соблюдаться лишь одно условие: . Так как по условию задачи может изменяться от до , то будет всегда положительным; переменная всегда положительна, значит, условие выполняется в любом случае.

7. Ответ.

.

8. Исследование решения. При решении задачи надо анализировать каждый шаг решения с точки зрения его выполнимости при предварительно найденных или заданных условиях и при необходимости эти условия уточнять, суживая тем самым области изменения параметров.

Задача2. В равнобедренном треугольнике

угол равен . Окружность радиусом 1 касается боковых сторон и треугольника и пересекает его основание в точках и (точка лежит между и ); - точка касания окружности и стороны ; . Вычислить площадь .