1) проблемная ситуация существует реально, вне зависимости от какого-то языка, а задача всегда связана с языком, на котором она изложена;
2) проблемная ситуация всегда богаче содержанием, чем задача, так как задача - это модель ситуации, отражающая лишь некоторые ее стороны;
3) для каждой проблемной ситуации существует одна или несколько задач, которые могут отличаться друг от друга как совокупностью представленных в них ситуаций, так и языком, на котором задача выражена.
Другими словами, проблемная ситуация - это довольно смутное, мало осознанное впечатление или переживание, а задача - проблема в собственном смысле слова. Переход от проблемной ситуации к задаче осуществляется посредством процесса мышления, который может быть скрытым, но, тем не менее, он обязательно выполняется каждым человеком, решающим поставленную задачу.
Роль задач в обучении раскрыта на примере определения, данного в «Российской педагогической энциклопедии»: «Познавательная задача - учебное задание, предполагающее поиск новых знаний, способов и стимуляцию активного использования в обучении связей, отношений, доказательств».
Задача характеризуется: наличием у учащихся цели; стремлением получить ответ на тот или иной вопрос; достичь желаемого результата, с учетом имеющихся условий и требований, необходимых для решения задачи; применением способов и приемов решения, соответствующих данной цели и условиям.
Одним из признаков, по которому все математические задачи делятся на отдельные виды или классы, является характер требования задачи. По этому признаку все задачи делятся на три основных класса.
1-й класс. Задачи на нахождение искомого.
Задачи этого класса опираются на нахождение какого-либо искомого. Данным искомым могут быть величина, отношение, какой-либо объект, предмет, его положение или форма и т.д.
В этот же класс входят задачи на вычисление различных выражений, значений функций, задачи на установление характера функции и т.п.
Так же это задачи на решение различных уравнений, неравенств и их систем, т.е. задачи на нахождение некоторых переменных, удовлетворяющих определенным условиям.
К ним же относятся геометрические вычислительные задачи, где нужно найти длину отрезка, величину угла, площадь фигуры, объем тела и т.д.
Задачи, в которых нужно установить вид заданных выражений, чисел, форму заданной геометрической фигуры или тела — это также задачи, рассматриваемого класса.
Потому как к этому виду задач относится довольно много задач, то для решения задач этого класса нет определенного общего метода решения. Но все же знание, что данная задача принадлежит именно этому классу, сужает поиск плана решения и служит ориентиром в этих поисках.
2-й класс. Задачи на доказательство или объяснение.
В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть некоторое утверждение. Проверить верность или ложность данного утверждения. Объяснить, почему то или иное явление или факт может существовать и при каких условиях.
Обычно задачи из этого класса начинаются со слов «Доказать», «Проверить» или содержат вопрос «Почему?».
3-й класс. Задачи на геометрические преобразования или построения.
К этому классу относятся задачи, в которых требуется преобразовать какое-либо выражение, упростить его, представить в другом виде, построить геометрическую фигуру или выражение, удовлетворяющее указанным условиям.
Класс этих задач довольно разнообразен. Характерной для него особенностью является то, что в каждой из них заданы какие-то выражения, объекты или элементы, из которых требуется создать, построить другой какой-то элемент, который соответствует заданным свойствам.
Существуют так же и другие виды задач, которые мы не будем подводить под одну классификацию:
1) Стандартные задачи
Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, называются стандартными или шаблонными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполне определенные правила:
· правило-формула;
· правило-тождество;
· правило-теорема;
· правило-определение.
Стоит отметить, что такие задачи должны уметь решать все. Это в первую очередь связано с тем, что ход и направление решения всегда идет по одному и тому же принципу.
2) Нестандартные задачи
Как уже отмечалось, одним из основных признаков стандартных задач является наличие определенных правил и положений, основываясь на которые можно составить однозначную программу решения такой задачи.
Соответственно, нестандартные задачи – это такие задчи, для которых в курсе математики не существует определенных правил и положений, для определения программы решения.
Для успешного решения нестандартных задач необходимо в первую очередь уметь думать, догадываться, мыслить логически. Но без знаний, опыта такие задачи решить невозможно.
При решении этих задач преследуются следующие цели:
· формирование и развитие мыслительных операций: анализа и синтеза;
· сравнения, аналогии, обобщения и так далее;
· развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности;
· поддержание интереса к предмету, к учебной деятельности (уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности);
· развитие качеств творческой личности, таких, как познавательная активность, усидчивость, упорство в достижении цели, самостоятельность;
· подготовка учащихся к творческой деятельности (творческое усвоение знаний, способов действий, умение переносить знания и способы действий в незнакомые ситуации и видеть новые функции объекта).
3) Проблемные задачи
Довольно трудными задачами являются проблемные — те, у которых неизвестно не только решение, но и плохо определены либо данные, либо цель. Потому, как и сама задача, так и ее решение могут быть весьма содержательными и разнообразными. В этой ситуации приходится столкнуться не с одной задачей, а с множеством. Часто проблемная задача может быть рассмотрена, как основа для многих аналогичных задач.
Из всего сказанного выше следует, что для успешного выполнения таких заданий чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических задач:
1) овладение учащимися базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;
2) формирование системных знаний об изучающихся в школьном курсе фигурах;
3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
4) Прикладные задачи
Наиболее близкими к реальной жизни являются прикладные задачи, их особенность заключается в том, что в ходе ее решения приходится переходить от реальной ситуации к ее математическому описанию, или, проще говоря, к математической модели. Очень часто при решении практической задачи удается, изучив условие, построить математическую модель, провести решение, основываясь на этой модели, а затем, получив результат, перевести его на язык исходной ситуации.
Умение решать прикладные задачи означает умение применять математику на практике.
К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:
· в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;
· задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
· вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны “сближаться” с реальной действительностью;
· способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;
· прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность.
Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации общедидактических принципов в обучении математике в школе. Практика показывает, что прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.
Мы рассмотрели некоторые виды математических задач, среди которых были нестандартные задачи. Именно к этому виду задач и принадлежат задачи повышенной трудности, с которыми нам предстоит дальнейшая работа.
В следующем параграфе мы рассмотрим, чем отличаются друг от друга задачи повышенной трудности и сложности, чтобы грамотно составить комплект задач для учителей, который бы в дальнейшем использовался ими на дополнительных занятиях по математике.
Представим оценку трудности и сложности А.Г Балла [1]. Основными из понятий этого рода являются уровни трудности и сложности задач. В обиходной речи, а нередко и в научной литературе термины «трудность» и «сложность» используются при описании задач почти как синонимы. Между тем целесообразно разграничивать области их употребления. Более того, каждое из этих понятий нуждается в дальнейшей дифференциации.