Тема нерекурсивные частотные цифровые фильтры недостаточно овладеть премудростью, нужно уметь пользоваться ею (стр. 5 из 5)
Рис. 7.5.5. Дифференцирование с применением весовой функции.
Аналогично производится расчет и полосовых дифференцирующих фильтров с соответствующим изменением пределов интегрирования в (7.5.1) от wн до wв. При этом получаем:
hn = (wнcos nwн-wвcos nwв)/(np) + (sin nwв-sin nwн)/(n2p).
Фильтры с линейной групповой задержкой. Дифференцирующие фильтры, а равно и любые другие фильтр с мнимой частотной характеристикой, например, оператор преобразования Гильберта, могут быть выполнены в каузальном варианте при условии обеспечения линейной групповой задержки сигнала, которое записывается следующим образом:
j(w) = b - aw, (7.5.4)
где b и a - константы.
Оно выполняется, если импульсная характеристика фильтра имеет положительную симметрию:
h(n) = -h(N-n-1), n = 0, 1, 2, …, (N-1)/2, N – нечетное (тип 1);
n = 0, 1, 2, …, (N/2)-1, N – четное (тип 2).
При этом фазовая характеристика будет определяться длиной фильтра:
a = (N-1)/2, b = p/2.
Частотная характеристика фильтра:
H(w) = |H(w)| exp(jj(w)), (7.5.4)
где модуль |H(w)| задается нечетным. Оба типа фильтров вводят в выходной сигнал сдвиг фазы на 90о. Кроме того, частотная характеристика фильтра типа 1 всегда равно нулю на частоте Найквиста, что определяется знакопеременностью левой и правой части главного диапазона спектра с учетом периодизации спектра дискретных функций.
Курсовая работа 10-07. Разработать и исследовать оптимальный способ закругления частотной характеристики дифференциального фильтра и реализовать его в программе расчета фильтра и фильтрации цифровых данных..
7.6. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА нцф [43].
Метод прямого расчета НЦФ по частотной характеристики понятен и прост для применения. Недостаток метода – отсутствие гибкости. Он не позволяет проектировать фильтры с разной степенью неравномерности частотной характеристики в полосах пропускания и подавления, а степень неравномерности не зависит от количества членов фильтра и не может изменяться. Максимальные осцилляции частотной характеристики всегда наблюдаются в области полосовых границ и уменьшаются при удалении от них, но при близких границах могут наблюдаться явления интерференции осцилляций. Более гибкими в проектировании являются альтернативные методы: оптимизационные,
Оптимизационные методы позволяют проектировать экономные по размерам операторы фильтров с оптимальными (по Чебышеву) осцилляциями частотных характеристик. Они основаны на понятии полос равных колебаний.
 Рис. 7.6.1. Оптимальный фильтр низких частот |
Частотная характеристика оптимального фильтра низких частот приведена на рис. 7.6.1. В полосе пропускания реальная характеристика фильтра осциллирует с постоянными амплитудными колебаниями между значениями 1-dp и 1+dp. В полосе подавления осцилляции постоянной амплитуды находятся в интервале 0-ds. Разность между идеальной и практической характеристиками представляет собой функцию ошибок E(f). Оптимальный метод позволяет определить коэффициенты фильтра h(n), для которых значение максимальной взвешенной ошибки минимизируется
min[max(E(f))]
в полосе пропускания и в полосе подавления, при этом характеристика фильтра будет иметь равные колебания в пределах полос пропускания и подавления, а количество экстремумов колебаний у фильтров с линейной фазовой характеристикой обычно прямо связано с количеством коэффициентов фильтра (N+1)/2.
При расчете фильтра ключевым моментом является определение положения частот экстремумов, которое выполняется итерационным алгоритмом Ремеза, после чего по положениям экстремумов задается частотная характеристика фильтра и определяются его коэффициенты. Методика расчета оптимальных фильтров подробно с примерами, в том числе в среде Matlab, рассмотрена в работе /43/.
Метод частотной выборки представляет собой вариант метода расчета фильтра по частотной характеристике без применения весовых функций и может применяться для расчетов как частотно-избирательных фильтров, так и фильтров с произвольной частотной характеристикой.
В основе метода лежит непосредственное задание частотной характеристики фильтра в цифровой форме с последующим подбором переходных зон под требуемые характеристики фильтра по величине допустимых осцилляций в полосе пропускания и подавления. Расчет желательно вести в интерактивном режиме, например, в среде Mathcad. В качестве примера приведем расчет низкочастотного фильтра.
 Рис. 7.6.2. Задание параметров НЦФ. |
Допустим, нам требуется достаточно простой симметричный низкочастотный фильтр с шириной переходной зоны порядка 0.2 главного частотного диапазона (при Dk=1 для фильтра, fN = 0.5 Гц для спектра и ширина переходной зоны 0.2 х 0.5 = 0.1 Гц). Минимальный размер фильтра при идеальной характеристике для обеспечения такого перехода 2N+1 = 2(1+1/0.1) = 11 точек. С учетом расширения переходной зоны при уменьшении осцилляций на границе зон примем для начала N=8. Частотная характеристика проектируемого фильтра (правая половина) приведена на рис. 7.6.2 с границей раздела зон между 3 и 4 отсчетами спектра. Расчет оператора фильтра проводим обратным преобразованием Фурье, а по полученным отсчетам оператора вычисляем фактическую частотную характеристику этого оператора с уменьшением шага по частоте в 4-6 раз, что позволяет выявить осцилляции и определить погрешность фильтра (по максимумам осцилляций).
 Рис. 7.6.3. Подбор отсчетов переходной зоны НЦФ. |
На рис. 7.6.3. показан результат подбора частотных значений характеристики фильтра в районе переходной зоны (2 точки), что позволяет более чем в 30 раз снизить осцилляции частотной характеристики.
 Рис. 7.6.4. НЦФ с точкой подбора на границе. |
Попутно заметим, что изменение осцилляций характеристики фильтра может производиться индивидуально для зоны пропускания (левой от границы точкой) и зоны подавления (правой точкой) в зависимости от того, требуется ли более высокая точность пропускания или подавления частот. Особенно эффективно это при использовании трех точек подбора с расположением центральной точки на границе полос пропускания и подавления, как это показано на рис. 7.6.4.
При использовании данного метода может использоваться и комбинированный подход: задание на частотной характеристике избыточного количества точек, отладка параметров фильтра по трем и более точкам в переходных зонах, а затем усечение оператора фильтра с применением весовых функций.
Метод частотных выборок допускает также рекурсивную реализацию фильтров /43/.
литература
24. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.
43. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с.
Главный сайт автора ~ Лекции по ЦОС ~ Практикум
О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.
Copyright ©2008 Davydov А.V.