Г. П. Прокопов Вариационные методы (стр. 3 из 8)

(2.9)

Она гарантирует выполнение условия

для

. Оказалось, что, в силу нормировки (1.6)-(1.7), формулы (2.9) эквивалентны таким:

При условии сохранения хорошей обусловленности для корректированной системы уравнений тоже можно надеяться на выполнение условия (2.8), если

. От вычурного вида формулы для

можно отказаться и в качестве корректировки принять:

(2.10)

где p>0 – управляющий параметр. Эти формулы представляют, конечно, лишь один из возможных вариантов корректировки. Этот вариант отражает стремление «приблизить» сетку к «квазиортогональной».

Однако более эффективным оказался вариант корректировки самого функционала. Для функционала (1.1)-(1.2) с якобианом предлагается:

(2.11)

Для функционала (1.8)-(1.9) без якобиана:

(2.12)

Для реализации (2.11) или (2.12) достаточно изменить формулы нормировки (1.6)-(1.7):

(2.13)

сохранив

и назначение (2.5) :

Интересно отметить, что при назначении (1.5) корректирующие функционалы

приобретают вид соответственно:

(2.14)

Первый из них рассматривался в работе [9] в качестве «функционала ортогональности», а второй – автором в работе [10] – в качестве одного из вариантов для получения «квазиортогональных» сеток. В обоих случаях их прямое использование для расчета сеток обнаружило некорректность, которую пришлось преодолевать подключением дополнительных «регуляризующих» средств. Предлагаемый вариант их реализации в качестве такого средства использует «опорные» функционалы (1.1)-(1.2) или (1.8)-(1.9), к которым они подключаются с коэффициентом

Возникает также общее предложение: использовать для корректировки опорных функционалов произвольные «хорошие функционалы» со своими управляющими коэффициентами

. Термин «хорошие функционалы» предполагает обеспечение хорошей обусловленности для корректированного функционала и целенаправленное воздействие на рассчитываемую сетку для обеспечения ее качества, требуемого при решении основной задачи. Обратим внимание на необходимость согласования размерности используемых функционалов по переменным (х,у).

Отметим также, что с точки зрения размерности по t представляется целесообразным вместо управляющих коэффициентов

задавать для корректирующих функционалов весовые коэффициенты формулами:

(2.15)

, где

В частности, например, подключение функционала, реализующего гармонические сетки, с коэффициентом

достигается заменой (2.13) на следующие формулы:

(2.16)

§ 3. Дискретизация.

Следующим этапом работы по созданию алгоритма расчета сеток является переход от дифференциальной формы вариационного функционала к дискретной. Простейшим и экономным способом его реализации была бы замена дифференциальных выражений разностными в уравнениях Эйлера-Лагранжа (1.13) для функционала (1.8)-(1.9) и следствий из таких уравнений (1.14) для функционала (1.1)-(1.2). Однако, как уже отмечалось, например, в [1], мнение о том, что этот этап сводится к механической замене дифференциальных выражений разностными, является ошибочным. При такой замене могут быть утеряны важные свойства дифференциальной модели.

Для рассматриваемой задачи крайне важным является обеспечение для дискретной модели условий (2.6), т.е. тождественного равенства нулю невязок разностных уравнений, возникающих после назначения (2.5) коэффициентов G, при подстановке в эти уравнения сетки предыдущего временного шага. Нарушение этого требования в надежде, что погрешности аппроксимации окажутся достаточно малыми, может приводить к неконтролируемым значениям для скоростей узлов сетки. Гарантию достижения этой цели дает тщательная реализация специальной процедуры, известной под названием вариационного

барьерного метода. Впервые она была изложена в работе [11] для расчета гармонических сеток, хорошо известна и многократно описана.

Изложение окончательного результата, имеющего непосредственное отношение к рассматриваемым функционалам, в нужных нам обозначениях представлено в [1] на стр. 16-17. Для полноты изложения и некоторых дополнительных замечаний целесообразно его повторить.

Дискретный аналог функционала (1.1)-(1.2) записывается в виде:

(3.1)

где суммирование производится по всем ячейкам сетки расчетной области. Обычно им присваивают «полуцелые» номера (

). Нормирующий коэффициент на число ячеек сетки в формуле (3.1) опущен как не влияющий на дальнейший результат.

Разностные уравнения для узла сетки с номером (n,m) имеют вид:

(3.2)

Для их получения достаточно рассмотреть «шаблон», в котором участвуют 4 ячейки, примыкающие к этому узлу. Он изображен на рис.1. Для упрощения описания расчетных формул входящим в него узлам присвоены более простые номера, а четырем ячейкам – номера

. Тогда уравнения (3.2) можно записать так:

(3.3)

В свою очередь, каждую из ячеек L, вершины которой имеют номера (1,2L,2L+1,2L+2), разделим на две пары треугольников, проведя ее диагонали (1,2L+1) и (2L,2L+2). Образующимся треугольникам присвоим номера

, как на рис. 2, относя их к соответствующим вершинам ячейки. Вершинам треугольника с номером k присвоим свои номера k-1, k, k+1 (см. рис.3а). Доопределение недостающих номеров очевидно и останавливаться на нем не будем. Полагаем далее:

(3.4)

(3.5)

Здесь и в дальнейшем индекс (k,L) означает, что соответствующая величина определяется в треугольнике с номером k ячейки с номером L.
Отметим весьма важное обстоятельство. Описываемая конструкция интегральной суммы (3.1) предполагает, что

(3.6)

для всех k,L.

Как будет следовать из дальнейшего, величины

представляют удвоенные площади соответствующих треугольников, и тогда требование (3.6) предполагает выпуклость всех ячеек сетки. Практика расчетов требует ослабления этого требования, и этот вопрос будет обсуждаться в §5. Пока же будем предполагать условия (3.6) выполненными.