Г. П. Прокопов Вариационные методы (стр. 2 из 8)
Таким образом, функционал (1.8)-(1.9) отличается от (1.1)-(1.2) только отсутствием в знаменателе якобиана отображения. Как отмечалось в [1], такое решение было принято авторами работы [5], в которой (см. стр. 1034) был предложен функционал (1.8)-(1.9), сознательно, чтобы упростить проблему решения возникающих уравнений Эйлера-Лагранжа.
Если сделать назначение метрических параметров G согласно (1.5), то минимизация функционала (1.8)-(1.9) приводит к абсолютному минимуму F*, равному площади области W.
Следовательно, посредством назначения (1.5) функционал (1.8)-(1.9) тоже воспроизводит любое отображение. Таким образом, функционалы F и F* можно считать универсальными генераторами сеток.
В частности, если полагать
(1.10)
, 
,то реализуются отображения, обычно называемые гармоническими, как и соответствующие им сетки. В функционале F тогда плотность энергии отображения
, а в функционале F* величина 
. В качестве вариационных уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала F* в этом частном случае (1.10) очевидно получаются уравнения Лапласа(1.11)
, 
.Для функционала F после некоторых преобразований (см., напр., [3], стр. 7-8) в качестве следствия вариационных уравнений получаются обращенные уравнения Лапласа:
(1.12)
Принято считать, что применение уравнений (1.12) в практике расчета сеток восходит к работе [6].
Для уравнений (1.11) автором построен пример, в котором для области простой формы получается вырожденное отображение (см., напр., [1], стр. 8). Ранее более громоздкий пример был описан в [3], стр. 5-6. Поэтому при произвольном назначении матрицы
функционал (1.8)-(1.9) невырожденности отображения не гарантирует.В свою очередь для функционала (1.1)-(1.2) в дискретной форме в работе [7] доказано, что он дает невырожденное отображение при произвольных положительно определенных матрицах
. Это его несомненное преимущество. Однако и функционал (1.8)-(1.9) имеет ряд других преимуществ по сравнению с (1.1)-(1.2). Поэтому считаем целесообразным в дальнейшем рассматривать оба этих функционала.Для наглядности будем называть (1.1)-(1.2) функционалом с якобианом, а (1.8)-(1.9) – функционалом без якобиана.
Вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала без якобиана имеют вид:
(1.13)
Назовем их системой S*[G]. Она является линейной при заданных
. Аналогичная, но гораздо более громоздкая нелинейная система уравнений получается для функционала с якобианом. В качестве ее следствия в работе [7] на стр. 49 получены нелинейные уравнения, обобщающие (1.12) на случай произвольных матриц . Для полноты изложения приведем их вид в наших обозначениях:(1.14)
,где
, 
, 
Назовем их системой S[G].
Интересно отметить, что по своей структуре они похожи на уравнения, приведенные в [3] на стр. 8, которые получаются после введения дополнительной замены переменных в уравнениях (1.12).
Относительная простота и линейность вариационных уравнений (1.13) по сравнению с (1.14) является существенным преимуществом функционала без якобиана.
§ 2. Нестационарная задача для сетки.
Перейдем теперь к вопросу о конструировании сеток при расчетах нестационарных задач с подвижными границами.
Пусть N – номер очередного шага по времени t,
- величина шага по временной координате t, 
- сетка, полученная на предыдущем шаге. Вектор 
содержит две пространственные координаты (х,у) и, в дискретном варианте, о котором речь пойдет в § 3, значения этих координат во всех узлах расчетной сетки.Для определенности пусть рассматривается некоторая газодинамическая задача без конкретизации ее содержания. В соответствии с общепринятой схемой расщепления расчет очередного шага состоит из нескольких этапов.
На I этапе осуществляется движение границ расчетных областей. Оно обусловлено теми или иными физическими законами и конкретным распределением физических величин в окрестности границы на текущий момент времени. Абстрагируясь от них, будем предполагать, что последовательности
определяют положение границ на предыдущем шаге и превращаются в последовательности 
для очередного рассчитываемого шага. Очевидно можно полагать, что(2.1)
Условимся подразумевать, что (2.1) и аналогичные равенства в дальнейшем выполнены для каждой из координат вектора
.По соображениям, изложенным в [8], в качестве II этапа расчета целесообразно вычислить величины сдвига граничных узлов сетки
(2.2)
,затем по интерполяционным формулам рассчитать значения сдвига
для внутренних узлов сетки и получить начальное приближение(2.3)
для узлов сетки N-го шага. Граничные узлы при этом занимают правильное положение, которое при дальнейшем расчете сетки текущего шага изменяться не будет.
Обсуждение интерполяционных формул отложим до § 6.
Из них будет очевидно, что
(2.4)
Перейдем теперь к III этапу – назначению матриц коэффициентов G для описанных выше функционалов.
Предлагается использовать для этого метрические параметры сетки, полученной на предыдущем шаге по времени:
(2.5)
.Как описано выше в § 1, такое назначение будет воспроизводить сетку предыдущего шага, т.е.
(2.6)
для функционала (1.1)-(1.2),
для функционала (1.8)-(1.9).В силу (2.4), можно полагать, что
(2.7)
и аналогично для второго функционала.
Конечно, строго говоря, при этом необходимо формулировать требования, которые нужно накладывать на гладкость границ области, гладкость текущей сетки и т.п. Мы их опускаем, тем более, что практически эти требования необходимо формулировать для дискретного варианта, который будет описан позже в § 3.
При хорошей обусловленности систем уравнений можно было бы полагать также, что искомые сетки
, определяемые из уравнений: 
или 
, удовлетворяют условию:(2.8)
.Это полностью решало бы проблему конструирования сеток при расчете нестационарных задач. К сожалению, на практике дело обстоит хуже. При назначении (2.5) рассматриваемые функционалы обнаруживают «равнодушие» к судьбе конструируемой сетки, поскольку для любой сетки значение функционала близко к абсолютному минимуму, отличаясь от него лишь на величину порядка
из-за отклонения граничных условий (2.1). При отсутствии обратной связи ухудшение качества сетки постепенно может приводить к необратимым последствиям, вплоть до «авостных». Поэтому назначение (2.5) необходимо корректировать.В работе [1] при расчете стационарных сеток (для областей с фиксированными границами) рассматривался один из возможных вариантов такой корректировки метрических параметров (см.[1], стр.25):