записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников (стр. 1 из 8)
Записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, КОРНИ УРАВНЕНИЯ, ЧИСЛО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ, ТЕОРЕМА ШТУРМА, МЕТОД ЛОБАЧЕВСКОГО–ГРЕФФЕ, МЕТОД ЛИНА, МЕТОД БЕРНУЛЛИ, МЕТОД БРОДЕТСКОГО–СМИЛА.
В курсовом проекте рассмотрен способ приближенного нахождения корней алгебраического уравнения – метод Лобачевского–Греффе. В работе определена идея метода, его вычислительная схема, найдены условия применимости метода, условия сходимости к точному решению, дана характеристика метода с точки зрения его точности. Приведена программная реализация метода Лобачевского–Греффе для случая пары комплексно–сопряженных корней на ЭВМ.
1.2 Алгебраических уравнений 9
1.2.1 Основные понятия об алгебраическом уравнении 9
1.2.2 Оценка границ модулей корней уравнения 10
1.2.3 Корни алгебраического уравнения 11
1.2.4 Число корней полинома в некоторой области 12
1.2.5 Число действительных корней полинома 13
1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений 19
1.3.3 Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней 24
1.3.4 Модификация метода Лобачевского–Греффе. Метод Бродетского–Смила 25
1.3.5 Потеря точности в методе Лобачевского–Греффе 28
1.4 Другие методы решения алгебраических уравнений с комплексными корнями 28
2.3 Описание программного продукта 38
2.4 Анализ полученных результатов 39
Вычислительная техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа.
Курс “Численные методы” занимает одно из ведущих мест среди дисциплин, которые изучают студенты специальностей ПМ, САУ, ИНФ.
Численные методы направлены на решение задач, которые возникают на практике. Решение задачи численными методами сводятся к арифметическим и логическим действиям над числами, что требует применение вычислительной техники. Условия и решения задач чаще всего являются приблизительными, т.е. имеют погрешности, причиной которых являются несоответствие построенной математической модели реальному объекту, погрешность исходных данных, погрешность метода решения, погрешность округления и т.д. Целью дисциплины “Численные методы” является поиск наиболее эффективных методом решения конкретной задачи.
Решение уравнений – алгебраических или трансцендентных – представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова.
Настоящий курсовой проект посвящен одному из методов решения алгебраических уравнений – методу Лобачевского–Греффе.
Цель работы данной рассмотреть идею метода Лобачевского–Греффе для решения алгебраических, привести вычислительную схему нахождения действительных и комплексных корней, определить условия применимости метода, условия сходимости метода к точному решению, привести условную погрешность вычислений.
В курсовом проекте рассмотрены основные теоретические вопросы, связанные нахождением корней алгебраических уравнений. Помимо метода Лобачевского–Греффе рассмотрены методы Лина, метод Бернулли, метод Бродетского–Смила, приведены основные принципы этих методов, указаны условия применимости.
В практической части данной работы приведен комплекс программ, реализующий решение алгебраических уравнений методом Лобачевского–Греффе. Рассмотрены примеры нахождения приближенного решения уравнений данным методом.
Пусть даны множество X элементов x и множество Y с элементами y. Допустим, кроме того, что на множестве X определен оператор
, который ставит в соответствие каждому элементу x из Х некоторый элемент y из Y. Возьмем какой-нибудь элемент 
и поставим себе целью найти такие элементы 
, для которых 
является изображением.Такая задача равносильна решению уравнения
(1.1)Для него могут быть поставлены следующие проблемы.
1. Условия существования решения уравнения.
2. Условие единственности решения уравнения.
3. Алгоритм решения, следуя которому, можно было бы найти, в зависимости от поставленной цели и условий, точно или приближенно все решения уравнения (1.1), или какое-либо одно решение, заранее указанное, или любое из числа существующих.
Далее будем рассматривать уравнения, в которых x и y будут численными величинами, X, Y – множествами их значений, а оператором
будет некоторая функция. В этом случае уравнение (1.1) можно будет записать в виде 
(1.2)В теории численных методов стремятся построить вычислительный процесс, при помощи которого можно найти решение уравнения (1.2) с наперед заданной точностью. Особенно большое значение имеют сходящиеся процессы, позволяющие решить уравнение с любой, сколь угодно малой погрешностью.
Наша задача – нахождение, вообще говоря, приближенное, элемента
. Для этой цели разрабатывается алгоритм, который выдает последовательность приближенных решений 
, причем так, что имеет место соотношение 
Такое описание действий, конечно, является несколько идеализированным. Обычно получают какой-либо алгоритм построения последовательности
, но фактически реализуется лишь несколько его шагов, т.е. получают только несколько первых членов этой последовательности. 1.2.1 Основные понятия об алгебраическом уравнении
Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени
, (1.3)где коэффициенты
– действительные числа, причем 
.В общем случае будем считать, что
– комплексная переменная.Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение n-й степени (1.3) имеет ровно n корней, действительных и комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
При этом говорят, что корень
уравнения (1.3) имеет кратность s, если 
, 
.Комплексные корни уравнения (1.3) обладают свойством парной сопряженности.
Теорема 1.2. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.3) – действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если
( 
– действительные числа) есть корень уравнения (1.3), кратности s, то число 
также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере один действительный корень.
1.2.2 Оценка границ модулей корней уравнения
Можно дать грубую оценку модулей корней уравнения (1.3)
Теорема 1.3. Пусть
,