записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников (стр. 5 из 8)
Тогда
и 
находятся из квадратного уравнения 
. (1.31)1.3.4 Модификация метода Лобачевского–Греффе. Метод Бродетского–Смила
Пусть
– неопределенный параметр, малый настолько, что его первой степенью еще нельзя пренебрегать в вычислениях, а второй и более высокими степенями можно пренебрегать.Для простоты предположим, что
(1.32)Разложим многочлен (1.3) по степеням
: 
.Проделаем преобразования Лобачевского–Греффе над многочленом
. Как легко доказать [2], коэффициенты многочлена, полученного после k-го преобразования, будут иметь следующий вид 
.Пусть
– корень однократного модуля. Тогда при достаточно малом 
представляет собой корень однократного модуля многочлена 
. Его можно найти по формуле 
При выполнении операций деления и извлечения корней над числами вида
можно пользоваться следующими формулами: 
, 
.Тогда
, (1.33)где
.Так как
, то приравнивая модули коэффициентов при 
, получим: 
.Заменяя
через 
, будем иметь 
.Перепишем теперь равенство (1.33) в виде
.Из соотношения
следует, что при положительном 
и положительном 
. Из соотношения (1.33) видно тогда, что 
должно быть отрицательным. Аналогично получаем, что при отрицательном 
и положительном должно быть 
, так что 
.Эта формула дает возможность вычислить корни однократного модуля без извлечения корней степени
и без неопределенности в знаке.Рассмотрим теперь, как вычислить корни двукратного модуля
, 
(по ранее сделанному предположению эти корни являются комплексно сопряженными). Для этого найдем квадратичный делитель 
, где 
1.3.5 Потеря точности в методе Лобачевского–Греффе
Коэффициенты многочлена в методе Лобачевского–Греффе растут неодинаково быстро и вскоре становятся величинами разного порядка.
Число преобразований многочлена обычно бывает невелико, и точность коэффициентов последнего многочлена по сравнению с точностью коэффициентов первого многочлена уменьшается за счет ошибок округления не более чем на две-три значащие цифры.
Разность между корнем последнего многочлена, взятым с обратным знаком, и соответствующей степенью корня исходного многочлена не превосходит, очевидно, безусловной погрешности корня последнего многочлена, обусловленной погрешностью округления.
Относительная безусловная погрешность корня довольно часто бывает величиной примерно такого же порядка, как и погрешность коэффициентов многочлена. Таким образом, относительная погрешность корня последнего многочлена лишь на несколько порядков превосходит погрешность округления.
При извлечении корня степени
относительная погрешность уменьшается в 
раз, так что относительная погрешность найденного по методу Лобачевского–Греффе модуля корня оказывается величиной такого же порядка, что и погрешность округления. Таким образом метод Лобачевского–Греффе для однократных корней дает очень малую потерю точности.1.4 Другие методы решения алгебраических уравнений с комплексными корнями
Иногда для нахождения корней уравнения целесообразно использовать другие методы вычислений. В ряде случаев, например при слабой сходимости метода, к найденному с меньшей точностью корню применяются методы уточнения корней. В данном разделе рассмотрены некоторые из существующих методов, которые обладают более простой чем в методе Лобачевского–Греффе вычислительной схемой.
Метод Бернулли [2] позволяет найти наибольший и наименьший по модулю корень алгебраического уравнения, но и несколько ближайших к нему (по модулю) корней.
Вычисления по методу Бернулли сводятся в основном к построению некоторой последовательности чисел
, для построения которой выбираются вначале некоторые, вообще говоря, произвольные значения 
. После этого значения 
вычисляются с помощью рекуррентной формулы: 
, 
Далее по виду последовательности определяется вид наибольшего (наименьшего) по модулю корня и значение этого корня.
Далее после того, как наибольший корень вычислен с достаточной степенью точности, определяется второй по величине модуля корень. Для второго корня строиться новая последовательность
, вид которой определяется на основании типа сходимости последовательности построенной для предыдущего корня.После того как найден второй по модулю корень, аналогично находятся третий и последующие корни.
Пусть погрешность округления во всех вычислениях постоянна и равна
. Тогда относительная погрешность первого корня равна [2] 
, где 
.Потеря точности для последующих корней может быть значительно больше.
Таким образом, метод Бернулли обладает очень простой вычислительной схемой. Основные вычисления сводятся к повторению операции накопления, что делает метод удобным для вычисления на ЭВМ. Но с другой стороны для реализации метода необходим более сложный, чем для метода Лобачевского–Греффе, логический аппарат, определяющий тип сходимости последовательности
. Кроме того, корни в методе Бернулли определяются не все сразу, а один или несколько наибольших (наименьших) по модулю корней, что приводит к потере точности для остальных корней. Метод Лина [2] служит для нахождения делителей любой степени для заданного многочлена. Чаще всего этот метод используется для нахождения квадратичных делителей, определяющих пару комплексных сопряженных корней многочлена. Этот метод также можно применить для вычисления наибольшего по модулю корня.