Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).
Предположим, что
т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:
где
Далее из системы (1.7) соотношений между корнями и коэффициентами уравнения (1.3) получаем:
где
Откуда находим корни
Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины
Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение
корнями которого
Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни
Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени
Многочлен (1.3) запишем в следующем виде
И умножим его на многочлен вида
Тогда получим
Сделав замену
Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена
Следовательно, интересующее нас уравнение есть
коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)
где предполагается, что
Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3) , получим многочлен
в котором
При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система
Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.
Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен
для которого также выполнена система (1.24) при
Так как в силу формулы (1.22)
то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов
Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.
Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле
Знак корня можно определить грубой прикидкой, подставив значения
1.3.3 Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней
Рассмотрим теперь случай когда среди корней уравнения (1.3) содержаться одинаковые по модулю, тогда из предположения, что уравнение (1.3) не содержит кратных корней, следует, что если
Характерным признаком этого является тот факт, что при квадрировании корней коэффициент при
Согласно общей теории отделенных корней [1] корни
Откуда получаем модули корней по формуле
Относительную погрешность модуля найденного по формуле (1.27), без учета погрешности округлений при преобразованиях многочлена, можно оценить следующей величиной [2]
где
Комплексные корни можно найти воспользовавшись первым и последним равенством из системы (1.7). Откуда