записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников (стр. 4 из 8)
Рассмотрим алгебраическое уравнение (1.3).
Предположим, что
, (1.15)т.е. корни различные по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего. Другими словами, предположим, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю:
, (1.16)где
и 
– малая величина. Такие корни называются отделенными.Далее из системы (1.7) соотношений между корнями и коэффициентами уравнения (1.3) получаем:
(1.17)где
, 
,…, 
– малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в системе (1.17) величинами 
, будем иметь приближенные соотношения 
(1.18)Откуда находим корни
(1.19)Точность корней в системе равенств (1.20) зависит от того, насколько малы по модулю величины
в соотношениях (1.16)Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (1.3), составляют преобразованное уравнение
, (1.20)корнями которого
, 
,…, 
являются m-e степени корней 
, 
,…, 
уравнения (1.3).Если все корни уравнения (1.3) различны и их модули удовлетворяют условию (1.17), то при достаточно большом m корни
, ,…, уравнения (1.20) будут отделенными, т.к. 
при 
.Очевидно, что достаточно построить алгоритм нахождения уравнения, корни которого будут квадратами корней заданного уравнения. Тогда можно будет получить уравнение, корни которого будут равны корням исходного уравнения в степени
. Многочлен (1.3) запишем в следующем виде
И умножим его на многочлен вида
Тогда получим
Сделав замену
и умножив на 
, будет иметь 
. (1.21)Корни многочлена (1.21) связаны с корнями многочлена
(1.3) следующим соотношением 
.Следовательно, интересующее нас уравнение есть
,коэффициенты которого вычисляются по формуле (1.22)
, (1.22)где предполагается, что
при 
.Применяя последовательно k раз процесс квадрирования корней к многочлену (1.3) , получим многочлен
, (1.23)в котором
, 
, и т.д.При достаточно больших k можно добиться чтобы для корней уравнения (1.23) выполнялась система
(1.24)Определим число k, для которого система (1.24) выполняется с заданной точностью.
Допустим, что нужное k уже достигнуто и равенства (1.24) выполняются с принятой точностью. Проделаем еще одно преобразование и найдем многочлен
,для которого также выполнена система (1.24) при
.Так как в силу формулы (1.22)
, (1.25)то, подставив (1.25) в систему (1.24), получим, что абсолютные величины коэффициентов
должны быть в принятой точности равны квадратам коэффициентов 
. Выполнение этих равенств и будет свидетельствовать о том, что необходимое значение k уже было достигнуто на k-м шаге.Таким образом квадрирование корней уравнения (1.3) следует прекратить, если в принятой точности в правой части формулы (1.24) сохраняется только квадраты коэффициентов, а удвоенная сумма произведений окажется ниже границы точности.
Тогда действительные корни уравнения получаются отделенными и их модули находятся по формуле
(1.26)Знак корня можно определить грубой прикидкой, подставив значения
и 
в уравнение (1.3).1.3.3 Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней
Рассмотрим теперь случай когда среди корней уравнения (1.3) содержаться одинаковые по модулю, тогда из предположения, что уравнение (1.3) не содержит кратных корней, следует, что если
, то 
и 
– коплексно-сопряженные.Характерным признаком этого является тот факт, что при квадрировании корней коэффициент при
в уравнении (1.25), меняет знак, так как при наличии лишь действительных корней все коэффициенты преобразованных уравнений неотрицательны.Согласно общей теории отделенных корней [1] корни
и 
, соответствующие комплексным корням и , приближенно удовлетворяют квадратному уравнению 
.Откуда получаем модули корней по формуле
(1.27)Относительную погрешность модуля найденного по формуле (1.27), без учета погрешности округлений при преобразованиях многочлена, можно оценить следующей величиной [2]
, (1.28)где
Комплексные корни можно найти воспользовавшись первым и последним равенством из системы (1.7). Откуда
, (1.29) 
. (1.30)