2011 Борис Григорьевич Миркин Профессор, Кафедра анализа данных и искусственного интеллекта опми ниу вшэ, Москва, РФ (стр. 2 из 13)
Не существует границы между прикладной и чистой математикой по предмету – граница проходит по области применения: внутри математики (чистая) или в другой области науки или практики (прикладная).
Пример, поясняющий эту мысль:
Малая теорема Ферма (1601-1665, Тулуза). Рассмотрим два взаимно простых натуральных числа (без общих нетривиальных делителей) a и n. Обозначим j(n) количество натуральных чисел от 1 до n, являющихся взаимно простыми с n. Например, если n – простое, т.е. делится без остатка только на себя и на 1, то j(n)=n-1. Теорема утверждает, что число aj(n) - 1 делится на n без остатка.
Будучи студентом, я считал эту теорему образцом чистой математики: никаких шансов на приложения. «Никому не нужные свойства никому не нужных простых чисел.» Сейчас эта теорема лежит в основе всей электронной торговли, обеспечивая безопасность кодировки транзакций при покупках через интернет.
2. Наследие античности: вклад Пифагора, Аристотеля, Архимеда
2.1. Пифагор (предположительно 580-500 до р.Х., Самос, потом Кротон в Италии, место смерти неизвестно)
(а) «Все есть число». И действительно, Пифагору удалось установить связь между такими вещами как:
– Арифметика: Пифагорейские числа; тетрада (квадратные числа – выкладывание и счет камешков, отсутствие нуля)
– Музыка: Консонантные созвучия как простые отношения 1:2, 1:3 и т.д., между длинами струн (точнее, частотой звука, о чем Пифагор не знал)
– Геометрия: Теорема Пифагора и правильные («Платоновские») многогранники
– Астрономия: Расположение планет вокруг общего центра, не солнца!, а «анти-Земли» с диаметрами, отражающими те же числовые соотношения (Понятия о «Музыке сфер», термин «космос» – порядок)
Эти четыре лежат в основе классического образования до сих пор.
С тех пор идея о том, что математическая красота сама может являться критерием истины, неоднократно подтверждалась. Один из популярных примеров – когда П. Дирак описал движение электрона (отрицательный заряд) так, что решение уравнения оказалось двойным, вместе с отрицательным корнем обнаружился равновеликий положительный, Дирак объявил о необходимости существования «позитрона», который и был действительно открыт вскоре как физический объект.
(б) Идея математического (= логического) доказательства. Перевод математики из полуэмпирической дисциплины в разряд теоретической (т. е. устроенной как система вывода: аксиомы – правила вывода – теоремы), программа блестяще реализованная «Началами» Эвклида, сочинением, посвященным построению геометрии плоскости, включая доказательство существования ровно пяти правильных многогранников.
(в) Теорема Пифагора (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы) – Открытие иррациональных чисел (длина диагонали квадрата со стороной единица – sqrt(2) не может быть представлена в виде отношения натуральных чисел, так как это приводит к противоречию) – Первый кризис математики: вместо естественной для нас идеи о том, что для выхода из кризиса надо пополнить множество чисел – включить туда иррациональные числа, Пифагор преодолел проблему, переведя всю арифметику на язык геометрии, так что число стало соответствовать длине интервала, сложение чисел – соединению интервалов, умножение чисел – вычислению площади соответствующего прямоугольника и т.п. Наряду с некоторыми положительными моментами (очевидность коммутативности и ассоциативности, общая наглядность) – колоссальные недостатки: например, невозможность оперировать более, чем с двумя числами одновременно, невозможность позиционной системы счисления, отсутствие алгебраической нотации, в целом задержавшие развитие математики на 2000 лет!
(г) Золотое сечение: с пропорцией x=(1-x)/x, x=(-1±Ö5)/2 – числа Фибоначчи. В основе пентаграммы – правильной пятиконечной звезды.
2.2. Вклад Аристотеля
Аристотель (384-322 до р.Х., Стагира-Афины-..?) – ученик Платона (, который стал сам учить других учеников, за что был изгнан Платоном из здания, подаренного ему Академом, и продолжал учить, прогуливаясь по саду (перипатетики); позднее был приглашен царем Македонии Филиппом в наставники своему сыну Александру, который очень уважал Аристотеля (и философию вообще – сохранился рассказ о его посещении Диогена, который учил, что человек должен жить естественно, как собаки (кинизм), и сам жил в большой винной амфоре – «Диоген, могу ли я что-нибудь для тебя сделать,» - «Да, конечно: отойди, ты загораживаешь свет.» - «Я бы хотел быть Диогеном, если бы не был Александром!») и даже брал его с собой в походы. )
Он оформил античную науку; его утверждения, даже и неверные, признавались до 16-17 веков. Можно сказать, что современная наука первоначально развивалась путем эвристической проверки и опровержения Аристотелевских принципов. Для нас интересны три аристотелевских понятия.
(а) Причинность по Аристотелю:
Четыре вида:
- материальная: часть-целое,
- формальная: целое-часть,
- эффективная-современное понимание,
- целевая (конечная) - не «почему», а «зачем», включая психологическую мотивацию.
Понимал циркулярность причинных сетей.
Исследование причин – одна из основных доминант познания. Когда найдена причина, возникает теория, описывающая механизм рассматриваемого явления и процесса. Отметим, что каждая найденная причина (механизм) открывает новый, объемлющий, сценарий с тем же самым вопросом «почему».
(б) Логика – силлогизмы Аристотеля (силлогизм: предложение о связи А и В, вытекающее из двух посылок, о связи А и Б, и о связи Б и В).
Предложения бывают 4 типов: утвердительное - отрицательное, универсальное -частное (кванторы всеобщности и существования).
«Все люди смертны. Кай – человек. Значит, Кай смертен.»
Имеются три понятия, А Б и В.
Посылки дают утверждения о связи А с Б (Большая посылка) – 4 вида ут/от – ун/ча, связи Б с В (Малая посылка), тоже 4 вида, а вывод – о связи А с В, тоже 4 вида – итого 64. Поскольку каждая связь может иметь одну из 2 фигур (А есть Б или Б есть А), то всего 256 возможных силлогизмов.
Из них только 24 правильных. Например, «Если некоторые А есть Б, а некоторые Б – В, то все А являются В» - чепуха, а вот «Если все А есть Б, а все Б – В, то все А являются В» - хорош. Но и часть правильных – не нужна, поскольку они выражают частные случаи других силлогизмов.. Например, «Если все А есть Б, а все Б – В, то некоторые А являются В» - верно, но верно и значительно более сильное заключение, что «все (а, значит, и некоторые) А являются В».
Два пути современного развития этих принципов, которые можно выразить в терминах интенсиональный – экстенсиональный. Что это такое?
Любое понятие можно трактовать двояко. С одной стороны, это термин, включённый в какую-то область знаний (), обычно даже определяемый в терминах этой области знаний. С другой стороны, понятию соответствуют конкретные объекты, подпадающие под него. Например, «компьютер» может быть определён как цифровое устройство для определенных действий с числами, а с другой стороны, может быть представлен множеством всех вычислительных устройств, произведённых такими-то компаниями и находящихся в пользовании в офисах и квартирах. Первый, «определительный», «теоретический», аспект называется интенсиональным, второй, «перечислительный», «эмпирический», аспект, – экстенсиональным.
Математическая логика пошла по интенсиональному пути через идею выводимости. В математике идея, что все можно вывести из нескольких точно сформулированных понятий, удовлетворяющих четким аксиомам, была очень убедительно доведена до совершенства в так называемой «программе Гильберта» (Д. Гильберт 1862=1943 Германия, последний великий математик), попытке свести математику к математической формальной логической машине. Оказалось, что путь этот приводит к гносеологическим трудностям. Австрийский математик Курт Гёдель доказал, что если такая формальная система включает арифметику (т.е. целые числа и арифметические операции с ними), то существует истинное высказывание, не выводимое из аксиом. Можно сказать – ну и что, давайте добавим это высказывание к списку аксиом, и все будет в порядке. Увы – нет, ведь теорема Геделя применима и к новой, расширенной системе: найдется другое не выводимое высказывание. Интенсиональный путь заведомо не полон, никакая формальная система не сможет вывести все правильные утверждения.
В этой связи поражает, что исследования по искусственному интеллекту вначале в основном шли по интенсиональному пути – грубо говоря, сводились к автоматизации логического вывода – долго, пожалуй до начала 90х, когда ведущие деятели просто сошли со сцены, не оставив никаких сколь-нибудь интересных результатов, разве что концепцию экспертной системы и язык ПРОЛОГ, предназначенный для реализации формальных построений. В этой связи припоминаю, что в 1974 в Тбилиси была организована – чуть ли не впервые в СССР – Международная конференция по Искусственному интеллекту. Меня включили в список рассылки, чем я был очень доволен, и мы послали туда новый метод обобщения данных – агрегирование больших графов в малые, что я считал – и считаю – безусловно относящимся к искусственному интеллекту: по-моему, обобщение фактов или структур – одна из главных интеллектуальных операций. Увы, Оргкомитет так не считал, нашу рукопись мне вернули; на манускрипте округлым девичьим почерком был выведен вердикт: «Никакого отношения к искусственному интеллекту».
Экстенсиональный путь усиленно развивается в настоящее время. Дисциплина «Разработка данных» (Data mining and knowledge discovery) – деятельность по выявлению «интересных» образов или закономерностей в наблюденных данных – фундаментальная часть усилий по искусственному интеллекту – лучше отсчитывать с 90х, хотя, конечно, разрозненные усилия предпринимались с 60х. Согласно этому подходу, каждое понятие представляется неким предикатом, определенным в терминах признаков наблюденных данных и тем самым может соответствовать тому подмножеству множества обрабатываемых данных, на котором оно истинно. Это позволяет перевести логические операции на язык операций над множествами.