Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 6 из 13)

Подставив найденную функцию

в уравнение (*), получим уравнение для функции u: . Найдем функцию – общее решение

этого уравнения:

.

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно:

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

2.3. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида

(27)

где n – действительное число,

, называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (22) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

2.4.Однородные уравнения.

Функция f(x,y) называется однородной функцией m-го порядка (измерения), если

Дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 (28)

называется однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одного порядка.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

(29)

С помощью подстановки

, т.е. однородное дифференциальное уравнение (29) приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь

, обе функции – однородные, 2-го порядка, так как выполнено

.

Разрешим данное уравнение относительно

. Для этого запишем его в виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на ; в результате получим исходное уравнение в виде (29): .

Введем подстановку y = tx, откуда

. Тогда уравнение примет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(х).

Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Заменяя t на

и упрощая результат, получаем:

Поскольку функцию y(x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ:

– общий интеграл уравнения.

Для определения типа дифференциального уравнения 1-го порядка и выбора метода его решения можно использовать таблицу 3.

Таблица 3.

Тип дифференциального уравнения	Вид, к которому приводится уравнение	Метод решения
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными		Разделение переменных:
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = u(x)v(x),
Уравнение Бернулли		Замена: y = u(x)v(x),
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка		Замена: y = tx, .

3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

(30)

где х – независимая переменная, y(х) – неизвестная функция этой переменной,

и – ее первая и вторая производные.

Иногда уравнение 2-го порядка встречается в форме, разрешенной относительно второй производной:

Общее решение уравнения 2-го порядка имеет вид:

y = g(x, C₁, C₂), (31)

где С₁ и С₂ – две произвольные постоянные.

Решение, полученное в неявном виде

G(x, y, C₁, C₂) = 0,

называется общим интегралом уравнения 2-го порядка.

Всякое решение, получающееся из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных С₁ и С₂, является его частным решением.

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (30) состоит в нахождении частного решения уравнения, удовлетворяющего двум начальным условиям:

, (32)

где

– заданные числа.

Для решения задачи Коши нужно подставить в общее решение (31) и его производную заданные начальные условия

,

решить полученную систему двух уравнений относительно неизвестных С₁ и С₂ и подставить найденные значения постоянных

в общее решение:

– решение задачи Коши.

4. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка

В некоторых случаях дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить методом понижения порядка. Использование этого метода позволяет свести решение уравнения 2-го порядка к решению уравнения 1-го порядка.

4.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие искомой функции.

Уравнение такого типа имеет вид: