Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 3 из 13)
Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона–Лейбница, получаем:
=
.Ответ:
= 
. 7. Несобственные интегралы первого и второго рода
Примером несобственного интеграла первого рода является интеграл
(8)Интегралы
, (9)где a – точка бесконечного разрыва функции
, и 
, (10)где b – точка бесконечного разрыва функции
, относятся к несобственным интегралам второго рода.Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл
.Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому
.Ответ: интеграл
сходится и равен 
. Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл
.Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому
,следовательно, интеграл расходится.
Ответ: интеграл
расходится. 8. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе
координат (ДСК)
Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f(x), где 
для 
(рис. 1).Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:
. (11) 
Если фигура Ф ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f1(x) и y = f2(x) где
для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:
. (12) 9. Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат (ПСК)
Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами 
и кривой 
, где 
(рис. 3).Формула для вычисления площади криволинейного сектора:
. (13)
10. Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,
y = 0 и непрерывной кривой y = f(x), где
для , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле: 
. (14)
Если плоская фигура ограничена линиями x = a, x= b, y1 = f1(x) и
y2 = f2(x) где
для 
, то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле: 
. (15)
11. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f(x), где
. Если функция f′(x) и ее производная f·′(x) непрерывны на промежутке [a; b], то длина кривой АВ вычисляется по формуле: 
. (16)
Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы №5
Задача 1. Найти неопределенные интегралы:
, 
, 
, 
.В примерах
правильность полученных результатов проверить дифференцированием.Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
а)
, б) 
.Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:
а) ограниченной в ДСК линиями l1: 
и l2: 
;
б) ограниченной в ПСК линией l: 
.
Сделать чертежи.
Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями
l1: 
и l2: y = 6x. Сделать чертеж.
Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением
, где 
. Решение задачи 1.
а) Так как
, то используя формулу (3), получим: 
.Проверим результат дифференцированием:
следовательно, выполнено условие (1).
Ответ:
= 
. б) Интеграл
относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим: 
.Проверим результат дифференцированием:
