Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 2 из 13)
Таблица 2.
1.  ; 2.  ; 3.  ; 4.  ; 5.  ; 6.  ; 7.  ; 8.  ; 9.  ; | 10.  ; 11.  ; 12.  ; 13.  ; 14.  ; 15.  ; 16.  . |
2. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла
При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:
1)
;2)
;3)
. Пример 1. Найти
.Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:
= 
+3 
= 
.Ответ:
= .Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (метод подстановки), который в некоторых случаях позволяет свести заданный интеграл к табличному интегралу.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:
или
. (2) Пример 2. Найти
.Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:
Ответ: 
.Этот интеграл можно взять, используя подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции (не прописывая замену переменной)
= 
= 
.Наиболее часто прием подведения под знак дифференциала используется при линейной замене переменной интегрирования:
, (3)так как
. Пример 3. Найти
.Решение. Согласно формуле (3) можно записать:
.Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:
Ответ: 
= 
.3. Интегрирование по частям
Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:
. (4)
Обычно за
принимают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:
1)
; 
; 
; 
– здесь за u принимают целый многочлен
, за – оставшееся выражение, то есть, например 
.2)
; 
; 
– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за
– оставшееся выражение, то есть 
.4. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью
называют отношение двух целых многочленов 
и 
, т.е. = 
. Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить ее, т.е. представить в виде суммы простейших дробей видов: 
где k, r – целые положительные числа, а трехчлен
не имеет действительных корней.Если дробь
неправильная ( 
), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Для нахождения интегралов видов
и 
используют тригонометрические формулы: 
(5)
Для нахождения интегралов вида
, где R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), используют универсальную подстановку: 
, которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к. 
и 
(6) 5. Формула Ньютона–Лейбница
Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:
, (7)
если
и 
непрерывна на 
. Пример 4. Вычислить определенный интеграл
.