Ответы:

;

Интегральные кривые изображены на рис. 9.
Решение задачи 2. Данное дифференциальное уравнение

– это уравнение Бернулли (см. (27)), в котором

. Применим подстановку

, тогда

Подставив значения
y и

в уравнение, получим

, или

(****)
Найдем функцию v(x), решая уравнение

.
Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

при соответствующем подборе

получаем

– частное решение уравнения

.
Подставляя найденную функцию

в (****), получим дифференциальное уравнение для функции
u:

, или

.
Найдем функцию

– общее решение этого уравнения:

Общим решением исходного уравнения является функция

.
Ответ:

.
Решение задачи 3. Данное дифференциальное уравнение

– это дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной
x (см. (34)). Полагаем

=
p(
y), тогда

и уравнение примет вид:

Решая первое уравнение, получим:

– первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию

Второе уравнение

есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя

на

и проинтегрируем:

где

. Производя обратную замену
p = 
, получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции
y:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С1, используя начальные условия (y = 3,

= 2 при
х = 1):

Подставив значение

в дифференциальное уравнение, получим:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Здесь использовано:

.
Определим значение постоянной С2, соответствующее начальному условию y(1) = 3:

Отсюда получим частный интеграл, удовлетворяющий заданным начальным условиям (решение задачи Коши):

.
Получим частное решение уравнения, выразив y(x):

Ответ:
Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение

– это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид

. Найдем его в 2 этапа (см. п. 5.3.).
1 этап. Построим общее решение

соответствующего однородного уравнения

. Составим для него характеристическое уравнение

и найдем его корни:

По таблице 4 определим вид его общего решения

2 этап. Построим частное решение

данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь

, т.е.

, тогда частное решение

будем искать в виде

.
Составим условиям вариации согласно (40):

Поделив оба уравнения почленно на

, получим систему с неизвестными

и

:

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим

из первого уравнения и подставим во второе:

затем найдем

Переходим к интегрированию:

(константы интегрирования считаем равными нулю).
Тогда

, и общее решение

.
Ответ:

.
Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение

– это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид

. Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение

соответствующего однородного уравнения

Составим для него характеристическое уравнение

и найдем его корни:

По таблице 4 определим вид его общего решения