Синтез системы автоматического регулирования массы квадратного метра бумажного полотна (стр. 3 из 8)

При перемещении вдоль колебательной границы в направлении возрастании частоты от 0 до ¥ кривая штрихуется слева, т. к. Dw > 0. Если частоту менять в пределах от - ¥ до 0 (w < 0), то определитель меняет знак и, двигаясь вдоль увеличения частоты, нужно штриховать правую часть кривой. Таким образом, кривая колебательной границы проходится дважды, при этом штрихуется одна и та же часть кривой двойной штриховкой. Апериодическая граница устойчивости штрихуется в сторону колебательной границы устойчивости.

Параметры регулятора K₁ ; K₂, выбранные из области устойчивости системы, обеспечат затухание переходной составляющей её движения при любых начальных отклонениях и внешних воздействиях.

Расчет линии равного запаса устойчивости.

1.Выведем выражение расширенной АФЧХ регулирующего блока W_р.б.(m₁jw)

Передаточная функция:

,

Заменим р на (j - m)w:

Запишем

в виде

= , где

- расширенная АЧХ звена

-расширенная ФЧХ звена

Тогда:

2.Выведем выражение расширенной АФЧХ части системы, содержащей остальные элементы в контуре управления.

,

где

Заменим р на

, отсюда

Запишем

в виде

Тогда:

Между заданной степенью колебательности m системы и характером расширенных и частотных характеристик с тем же m существует определенная связь. Для нахождения системы на границе заданной степени колебательности m, определяющей заданный запас устойчивости, необходимо выполнение следующего соотношения:

или в показательной форме

или

Получили два условия.

Первое условие приводит к уравнению:

Второе условие к уравнению вида:

Решив уравнение относительно К₁ и К₂ получим:

	0	0,005	0,01
	0	0,6	1,2
	0	0,5646	0,932
	1	0,8253	0,3642
	1	1,1411	1,3021
	-0,0089	-0,0059	-0,0032
	0	0	0,0001

Все значения К₁ и К₂, лежащие на кривой обеспечат заданные запас устойчивости. Значения К₁ и К₂, лежащие внутри области, ограниченной данной кривой и осями координат, обеспечат запас больше заданного или степень затухания больше заданной, а лежащие вне этой области – степень затухания меньше заданной. Специальными исследованиями было установлено, что настройки, расположенные чуть правее экстремума линии равного запаса устойчивости, обеспечивают минимум квадратичного интегрального критерия качества, поэтому эти настройки можно назвать оптимальными.

Получение переходного процесса системы на заданный вид воздействия.

Рассмотрим операторный метод расчета непрерывных систем. Суть метода заключается в том, что каждый элемент непрерывной системы заменяется его дискретным аналогом, для этого вводим в модель непрерывного элемента импульсный элемент.

Дискретная модель системы.

Импульсную модель элемента можно описать разностным уравнением, вид которого определяется формирующим элементом. Самым простым формирующим элементом является экстраполятор нулевого порядка с передаточной функцией вида:

, где Т₀ – период дискретности. Тогда дискретная передаточная функция непрерывного элемента найдётся как:

Выбор периода дискретности Т₀.

Допустимая погрешность моделирования определяется из условия выбора периода дискретности Т₀ = Т/(10 ¸15), где Т – постоянная времени системы, при этом должно выполнятся условие: t / Т₀ > 5 ¸ 10, где t - запаздывание системы.

Дискретная модель объекта регулирования:

, где ; m = t/T₀ (число тактов запаздывания – целое число).

Дискретная модель регулятора совместно с регулирующим блоком.

Дискретная модель датчика: W_дат (Z) = K_д = 0.25

Система разностных уравнений, описывающих работу данной АСР, при переходном процессе.

Так как рассчитываем переходный процесс по задающему воздействию, то полагаем DX_f = 0; DY_f = 0.

1. Уравнение регулируемого параметра:

y_c[n] = 0.8y_c[n - 1] + 22.4x[n - 13]

2. Уравнение датчика:

y₁[n] = К_д×y_c[n] = 0.25y_c[n]

3. Уравнение элемента сравнения:

ОШ[n] = Dg ×К_д – y₁[n] = 0.375 - y₁[n]

4. Уравнение регулирующего воздействия:

X[n] = X[n - 1] + K_р.о. ×K₁× ОШ[n] + K_р.о. × (K₂ T₀ - K₁ )× ОШ[n - 1]

X[n] = X[n - 1] + 0.0232 × ОШ[n] - 2.2316 × ОШ[n - 1]

Выбираем параметры настройки ПИ регулятора:

K₁ = 2.234451

K₂ = 0.027039

Отклонение регулируемой величины от установившегося значения должно быть не более 5%. D = 0.05 × | 1.5 | = 0.075

Расчёт переходного процесса системы по задающему воздействию

n	t	Yc[n]	Y1[n]	ОШ[n]	X[n]
-13	-130	0	0	0	0
-12	-120	0	0	0	0
-11	-110	0	0	0	0
-10	-100	0	0	0	0
-9	-90	0	0	0	0
-8	-80	0	0	0	0
-7	-70	0	0	0	0
-6	-60	0	0	0	0
-5	-50	0	0	0	0
-4	-40	0	0	0	0
-3	-30	0	0	0	0
-2	-20	0	0	0	0
-1	-10	0	0	0	0
0	0	0	0	0,375	0,008714
1	10	0	0	0,375	0,009769
2	20	0	0	0,375	0,010823
3	30	0	0	0,375	0,011878
4	40	0	0	0,375	0,012932
5	50	0	0	0,375	0,013987
6	60	0	0	0,375	0,015042
7	70	0	0	0,375	0,016096
8	80	0	0	0,375	0,017151
9	90	0	0	0,375	0,018205
10	100	0	0	0,375	0,01926
11	110	0	0	0,375	0,020314
12	120	0	0	0,375	0,021369
13	130	0,195197	0,048799	0,326201	0,021289
14	140	0,374977	0,093744	0,281256	0,021162
15	150	0,542423	0,135606	0,239394	0,020981
16	160	0,700002	0,175001	0,199999	0,020738
17	170	0,849687	0,212422	0,162578	0,020431
18	180	0,993058	0,248264	0,126736	0,020055
19	190	1,131376	0,282844	0,092156	0,019608
20	200	1,265653	0,316413	0,058587	0,019087
21	210	1,396697	0,349174	0,025826	0,018491
22	220	1,525154	0,381289	-0,00629	0,017817
23	230	1,651542	0,412885	-0,03789	0,017065
24	240	1,776274	0,444069	-0,06907	0,016234
25	250	1,899682	0,474921	-0,09992	0,015323
26	260	1,99663	0,499157	-0,12416	0,014479
27	270	2,071341	0,517835	-0,14284	0,013696
28	280	2,127036	0,531759	-0,15676	0,01297
29	290	2,166167	0,541542	-0,16654	0,012302
30	300	2,190591	0,547648	-0,17265	0,011692
31	310	2,201715	0,550429	-0,17543	0,011142
32	320	2,200597	0,550149	-0,17515	0,010655
33	330	2,188035	0,547009	-0,17201	0,010235
34	340	2,164623	0,541156	-0,16616	0,009888
35	350	2,130803	0,532701	-0,1577	0,009617
36	360	2,086905	0,521726	-0,14673	0,009428
37	370	2,033167	0,508292	-0,13329	0,009328
38	380	1,969768	0,492442	-0,11744	0,009321
39	390	1,900138	0,475034	-0,10003	0,009396
40	400	1,826891	0,456723	-0,08172	0,00954
41	410	1,752048	0,438012	-0,06301	0,009745
42	420	1,677207	0,419302	-0,0443	0,010003
43	430	1,603665	0,400916	-0,02592	0,010305
44	440	1,532508	0,383127	-0,00813	0,010646
45	450	1,464677	0,366169	0,008831	0,011017
46	460	1,401014	0,350254	0,024746	0,011412
47	470	1,342296	0,335574	0,039426	0,011822
48	480	1,289255	0,322314	0,052686	0,012241
49	490	1,242601	0,31065	0,06435	0,01266
50	500	1,203028	0,300757	0,074243	0,013071
51	510	1,171224	0,292806	0,082194	0,013465
52	520	1,147444	0,286861	0,088139	0,013834
53	530	1,13165	0,282912	0,092088	0,014174
54	540	1,123606	0,280901	0,094099	0,014479
55	550	1,122941	0,280735	0,094265	0,014748
56	560	1,129188	0,282297	0,092703	0,014977
57	570	1,141814	0,285453	0,089547	0,015164
58	580	1,160229	0,290057	0,084943	0,015309
59	590	1,183802	0,29595	0,07905	0,015411
60	600	1,21186	0,302965	0,072035	0,01547
61	610	1,243692	0,310923	0,064077	0,015488
62	620	1,278548	0,319637	0,055363	0,015466
63	630	1,315636	0,328909	0,046091	0,015406
64	640	1,354122	0,338531	0,036469	0,015312
65	650	1,393183	0,348296	0,026704	0,015187
66	660	1,432039	0,35801	0,01699	0,015037
67	670	1,469971	0,367493	0,007507	0,014864
68	680	1,506331	0,376583	-0,00158	0,014674
69	690	1,540544	0,385136	-0,01014	0,014471
70	700	1,572111	0,393028	-0,01803	0,014259
71	710	1,600609	0,400152	-0,02515	0,014043
72	720	1,625691	0,406423	-0,03142	0,013826
73	730	1,647084	0,411771	-0,03677	0,013614
74	740	1,664594	0,416149	-0,04115	0,013408
75	750	1,678103	0,419526	-0,04453	0,013214
76	760	1,687571	0,421893	-0,04689	0,013034
77	770	1,69304	0,42326	-0,04826	0,01287
78	780	1,69463	0,423658	-0,04866	0,012725
79	790	1,692528	0,423132	-0,04813	0,012601
80	800	1,68698	0,421745	-0,04675	0,012498
81	810	1,678283	0,419571	-0,04457	0,012417
82	820	1,666774	0,416693	-0,04169	0,012358
83	830	1,65282	0,413205	-0,0382	0,012322
84	840	1,636813	0,409203	-0,0342	0,012308
85	850	1,619159	0,40479	-0,02979	0,012314
86	860	1,600272	0,400068	-0,02507	0,01234
87	870	1,580568	0,395142	-0,02014	0,012384
88	880	1,560455	0,390114	-0,01511	0,012444
89	890	1,540327	0,385082	-0,01008	0,012519
90	900	1,520559	0,38014	-0,00514	0,012605
91	910	1,501498	0,375375	-0,00037	0,012701
92	920	1,483458	0,370865	0,004135	0,012805
93	930	1,466716	0,366679	0,008321	0,012914
94	940	1,451509	0,362877	0,012123	0,013026
95	950	1,438034	0,359509	0,015491	0,013138
96	960	1,426443	0,356611	0,018389	0,013249
97	970	1,416847	0,354212	0,020788	0,013357
98	980	1,409313	0,352328	0,022672	0,013459
99	990	1,403867	0,350967	0,024033	0,013554
100	1000	1,400495	0,350124	0,024876	0,013641
101	1010	1,399146	0,349787	0,025213	0,013719
102	1020	1,399735	0,349934	0,025066	0,013787
103	1030	1,402142	0,350536	0,024464	0,013843
104	1040	1,406225	0,351556	0,023444	0,013888
105	1050	1,411816	0,352954	0,022046	0,013922
106	1060	1,418727	0,354682	0,020318	0,013943
107	1070	1,426759	0,35669	0,01831	0,013954
108	1080	1,435702	0,358926	0,016074	0,013953
109	1090	1,445341	0,361335	0,013665	0,013943
110	1100	1,455459	0,363865	0,011135	0,013922
111	1110	1,465843	0,366461	0,008539	0,013893
112	1120	1,476287	0,369072	0,005928	0,013857
113	1130	1,486595	0,371649	0,003351	0,013813
114	1140	1,496584	0,374146	0,000854	0,013765
115	1150	1,506087	0,376522	-0,00152	0,013712
116	1160	1,514955	0,378739	-0,00374	0,013656
117	1170	1,523059	0,380765	-0,00576	0,013599
118	1180	1,530292	0,382573	-0,00757	0,01354
119	1190	1,536567	0,384142	-0,00914	0,013483
120	1200	1,541822	0,385456	-0,01046	0,013426
121	1210	1,546016	0,386504	-0,0115	0,013373
122	1220	1,549129	0,387282	-0,01228	0,013322
123	1230	1,551164	0,387791	-0,01279	0,013276
124	1240	1,552142	0,388035	-0,01304	0,013234
125	1250	1,552103	0,388026	-0,01303	0,013198
126	1260	1,551104	0,387776	-0,01278	0,013167
127	1270	1,549216	0,387304	-0,0123	0,013142
128	1280	1,546522	0,386631	-0,01163	0,013123
129	1290	1,543118	0,385779	-0,01078	0,01311
130	1300	1,539104	0,384776	-0,00978	0,013103
131	1310	1,534589	0,383647	-0,00865	0,013102
132	1320	1,529683	0,382421	-0,00742	0,013106
133	1330	1,524499	0,381125	-0,00612	0,013115
134	1340	1,519147	0,379787	-0,00479	0,013129
135	1350	1,513735	0,378434	-0,00343	0,013147
136	1360	1,508368	0,377092	-0,00209	0,013169
137	1370	1,503141	0,375785	-0,00079	0,013193
138	1380	1,498143	0,374536	0,000464	0,01322
139	1390	1,493454	0,373364	0,001636	0,013249
140	1400	1,489144	0,372286	0,002714	0,013278
141	1410	1,485272	0,371318	0,003682	0,013308
142	1420	1,481884	0,370471	0,004529	0,013338
143	1430	1,479017	0,369754	0,005246	0,013368
144	1440	1,476696	0,369174	0,005826	0,013396
145	1450	1,474932	0,368733	0,006267	0,013423
146	1460	1,473728	0,368432	0,006568	0,013447
147	1470	1,473076	0,368269	0,006731	0,013469
148	1480	1,472957	0,368239	0,006761	0,013489
149	1490	1,473344	0,368336	0,006664	0,013506
150	1500	1,474201	0,36855	0,00645	0,01352
151	1510	1,475489	0,368872	0,006128	0,01353
152	1520	1,477158	0,369289	0,005711	0,013538
153	1530	1,479157	0,369789	0,005211	0,013542
154	1540	1,481431	0,370358	0,004642	0,013544
155	1550	1,483924	0,370981	0,004019	0,013542
156	1560	1,486576	0,371644	0,003356	0,013538
157	1570	1,48933	0,372332	0,002668	0,013532
158	1580	1,49213	0,373032	0,001968	0,013523
159	1590	1,494921	0,37373	0,00127	0,013512
160	1600	1,497653	0,374413	0,000587	0,0135
161	1610	1,500278	0,375069	-6,9E-05	0,013486
162	1620	1,502753	0,375688	-0,00069	0,013472
163	1630	1,505042	0,37626	-0,00126	0,013456
164	1640	1,507111	0,376778	-0,00178	0,013441
165	1650	1,508936	0,377234	-0,00223	0,013425
166	1660	1,510495	0,377624	-0,00262	0,01341
167	1670	1,511775	0,377944	-0,00294	0,013395
168	1680	1,512766	0,378192	-0,00319	0,013381
169	1690	1,513468	0,378367	-0,00337	0,013368
170	1700	1,513882	0,37847	-0,00347	0,013356
171	1710	1,514017	0,378504	-0,0035	0,013346