Книга S.Gran A Course in Ocean Engineering. Глава Усталость (стр. 8 из 10)

В этом соотношении, g¢(x) – локальная геометрическая функция, которую можно вычислить аналитически или численно с помощью линейного анализа напряжений. Справочник таких функций есть в нескольких работах по механике разрушения, например в книге /11/. Член

входит в состав геометрической функции для выражения этой функции без штриха g(x), далее ей будет отдано предпочтение. Подстановка (4.7.84) в (4.7.83) дает увеличение размера трещины:

Теперь, процесс усталости может быть описан как скачкообразное распространение трещины в материале

Рис. 4.7.10 Пример диаграммы роста трещины или da/dN кривой, полученной в результате лабораторных испытаний. Безразмерный параметр наклона m соответствует параметру наклона в диаграмме Велера, классическое значение m=3.

Рассматривая весь срок службы элемента, начальная глубина трещины x₀будет связана с микротрещинами, упомянутыми выше, а конечная длина x_f будет достигнута при разрушении материала. Формально, глубина трещины может определять коэффициент использования h, возрастающий скачками Dh:

Подставленный в (4.7.37), он равен росту коэффициента использования в теории Палмгрена-Майнера, но длина скачков Dh явно зависит от текущего значения h или x.

Размах номинальных напряжений S в (4.7.85) такой же, как в (4.7.39). Можно считать, что он имеет функцию плотности вероятности (4.7.1) для короткого отрезка времени и (4.7.7) в случае большого интервала. Длина скачка Dxимеет статистическое распределение согласно гамма распределению, усеченному при напряжениях соответствующих пределу DK₀. Использование статистического распределения размахов напряжений (4.7.7) дает ожидаемую, т.е. среднюю длину скачка

Если мы не учитываем предел интенсивности напряжений DK₀, то неполная гамма функция превратится в полную. Для простоты, далее мы используем это допущение. Кроме того, длина отдельного скачка Dx, будет иметь стандартное отклонение и асимметрию повышающую естественную дисперсию роста трещины. Формулы могут быть получены аналогично уравнениям (4.7.41) – (4.7.46).

В отличие от изменения абстрактного коэффициента использования h, продвижение трещины описывает физический процесс. Часто, скачки можно физически увидеть как набор линий или полосок на поверхности излома. Трещина распространяется с некоторой скоростью, обозначенной U. Если T, как и раньше, обозначает средний период напряжений, то фронт трещины продвигается со средней скоростью

здесь мы не учли предел интенсивности напряжений. В этом случае, зависимость от x будет проявляться только через геометрическую функцию g(x). Уравнение (4.7.89) представляет собой дифференциальное уравнение движения для x, которое может быть, в некоторых случаях, аналитически интегрировано, что даст глубину трещины x как функцию от времени t.

Распределение вероятностей для длины трещины. Основное предназначение теории роста трещин – предсказать размер трещины в момент времени t₂, если в момент t₁ размер трещины известен. Кроме того, эта теория может быть использована для предсказания срока службы элементов конструкций, как альтернатива методу Палмгрена-Майнера. Когда используется теория роста трещин, необходимо выбрать начальную глубину трещины x₀ в момент времени t=0, что часто является причиной погрешностей в оценке ресурса.

Как уже упоминалось во введении к этой главе, микротрещины или похожие концентраторы напряжений всегда присутствуют на металлической поверхности, даже если конструкция новая. Говорилось о начальной глубине 0,1–1 мм. Однако, эта величена наилучшим образом известна в виде функции вероятности. Следовательно, интегральная функция вероятности для глубины трещины будет функцией определяющей положение x и время t. Мы определяем ее как

Вероятность того, что глубина трещины в момент времени t превзойдет значение x, определяется соответствующей вероятностью превышения

В определенный момент времени t=t₁, функция F(x,t₁) характеризует простую пространственную функцию вероятности для глубины трещины. Соответствующая плотность вероятности будет

С течением времени, при действии случайной нагрузки, интегральная функция вероятности F(x,t) изменится. Она может быть описана уравнением Фокера-Планка так, как это было сделано для h в выражении (4.7.56). При этом динамические коэффициенты U, Vи W зависят от положения x так же, как это было в (4.7.89). Но влияние естественной дисперсии вызванной Vи W, показанное в главе 4.7.4(iii), в многоцикловой усталости незначительно. Следовательно, эти коэффициенты можно не учитывать, оставляя лишь дифференциальное уравнение движения первого порядка. По понятным причинам, это уравнение можно вывести.

С этой целью, мы можем рассмотреть некоторую точку в момент времени t, например точку с вероятностью 75%, что размер трещины превзойдет x. После временного шага dt, эта точка с вероятностью 75% передвинется в глубь материала на расстояние dx=U(x)dt. Однако, до временного шага dt, этой новой точке x+dx соответствовала вероятность превышения отличная от 75% на величину (¶Q(x,t)/¶x)dx. Следовательно, мы можем заключить, что локальное временное изменение вероятности превышения, в интервале времени dtбудет

Кроме того, это выражение выглядит так же, как искомая вещественная производная по времени от интегральной функции вероятности или вероятности превышения, которая равна нулю, т.е.

Такая же форма записи использовалась в главе 3.1.1 для движения жидкости. Пространственную плотность вероятности определенную в (4.7.92) находят путем дифференцирования (4.7.94) по x, следовательно, она должна удовлетворять уравнению непрерывности

Оно аналогично первому порядку уравнения (4.7.56) и говорит о том, что вероятность изменяется так, как, например, в случае со сжимаемым в трубке газом. Кроме того, для уравнения (4.7.95) соблюдается условие нормировки

для любого момента времени t.

Изменение вероятности перехода Q(x,t) с течением времени в определенном месте x обязательно будет монотонно возрастающей функцией. Она начинается с некоторого начального значения и приближается к единице, когда время стремится к бесконечности. По этой причине, Q(x,t), принятая как функция от t при фиксированном значении x, также определяет распределение вероятности, а именно интегральную функцию вероятности для времени необходимого для того, чтобы трещина достигла точки x. Функция плотности вероятности c(x,t), связанная с этим распределением, является производной от Q(x,t) по времени при определенном значении x

Вероятность того, что фронт трещины пересечет точку x во временном интервале [t,t+dt] будет c(x,t)dt. Из (4.7.94) следует, что пространственная плотность вероятности r(x,t) и временное распределение вероятностей c(x,t) связаны между собой выражением

Тогда уравнение непрерывности (4.7.95) для c(x,t) можно записать как

при условии, что локальная скорость U=U(x) не зависит от времени. По мере того, как трещина проникает в глубь материала, она пройдет через критическое значение x_f, при котором происходит хрупкое разрушение. В этот момент, интегральная функция вероятности по времени, мы ее обозначим как P_f(t), будет равна вероятности того, что глубина трещины превысит x_f. Из (4.7.91) следует

это вероятность разрушения – центральная переменная в анализе надежности.

Глава 4.7.6 Распределение вероятностей для ресурса.

Мы рассмотрим некоторые особые решения дифференциального уравнения (4.7.94). Основные входные данные – это распределение глубин начальных трещин в момент времени t=0 и геометрическая функция g(x) в уравнении скорости роста трещины U(x) в (4.7.89). Мы допускаем, что предел усталости равен нулю.

Начальное состояние. Основная задача – найти распределение вероятностей для ресурса (4.7.100), чтобы можно было определить математическое ожидание ресурса и погрешность возникшую из-за неизвестных начальных размеров трещины. Для этого, мы можем принять, что распределения глубин начальных трещин соответствует распределению Вейбулла с вероятностью превышения