Книга S.Gran A Course in Ocean Engineering. Глава Усталость (стр. 4 из 10)
где S – амплитуда напряжений или размах напряжений (т.е. двойная амплитуда),
h- коэффициент использования, свидетельствующий о разрушении при h=1,
n(S) – действительное число циклов с амплитудой напряжений или размахом S,
N(S) – число циклов до разрушения Nf при амплитуде напряжений или размахе S.
Сумма взята по всем уровням напряжений. Если n циклов напряжений вообще, которое случайно распределено с плотностью вероятности f(S), то это означает, что число циклов напряжений между S и S+dS равно nf(S). Следовательно, коэффициент использования (4.7.10) может быть вычислен с помощью интеграла
Число циклов до разрушения N(S) определяют с помощью соответствующей кривой Велера, или S-N диаграммы, обычным делом является подобрать математическую кривую, предпочтительно прямую линию, к эмпирическим точкам на этой S-N диаграмме.
Основная логарифмическая S-N кривая. В случае логарифмической S-N кривой, такой как кривая I на рис. 4.7.3, число циклов до разрушения N(S) может быть записано как в (4.7.9). Если это выражение подставить в (4.7.11), то мы получим коэффициент использования:
где Mm – определяют как статистический момент с порядком распределения размаха напряжений m. Если образец подвергается n циклам нагружения за стационарный короткий период времени (скажем, приблизительно n=1000 в час), где размах напряжений имеет гамма распределение в соответствии с (4.7.1), то увеличение усталостного коэффициента использования будет
где мы применили формулу моментов (2.6.18) для гамма распределения.
Для больших отрезков времени, элемент имеет циклы напряжений с гамма распределением (4.7.7). Параметры d, k, и D можно определить с помощью одного из методов упомянутых выше, в главе 4.7.1. Соответственно, коэффициент использования после n циклов (скажем, n=108 за 20 лет) равен
В данном случае, эта величина может быть найдена проще и точнее при использовании (4.7.6). Что дает
Часто, полные функции гамма распределения могут быть вычислены на карманном калькуляторе с функцией факториала (!) применимой для дробных чисел. Следовательно, может быть использовано выражение (2.6A.8)
Кроме того, гамма функция включена в таблицу в приложении B, в конце книги.
S-N кривые с пределом усталости. Предел усталости (выносливости) означает, что циклы напряжений с амплитудой меньше, чем предельное значение S0 не вносят свой вклад в сумму Майнера (4.7.9). Кривые II и III на рис. 4.7.3 именно такого вида. Учитывая этот предел, (4.7.9) следует записать как
Объединение этой S-N кривой с распределением напряжений (3.1.1) дает прирост в сумме Майнера для коротких интервалов, после n циклов:
которая заменяет выражение (4.7.13). Неполная гамма функция G(_;_) определяется в выражениях с (2.6.3) по (2.6.8). Соответственно, в диапазоне больших отрезков времени усталостный коэффициент использования, наработанный в течении n циклов напряжений распределенных в соответствии с (4.7.7), становится
который заменяет (4.7.14). Точная формула соответствующая (4.7.15) не найдена.
Численное определение функций (4.7.18) и (4.7.19) требуется не всегда, т.к. на основе этих формул может быть построена диаграмма усталости, мы называем ее C-N диаграммой, которая применяется для процессов со случайными нагружениями, таким же образом, как используется S-N кривая для регулярных синусоидальных напряжений. Посмотрите рис. 4.7.5. Формально коэффициент использования h в (4.7.18) и (4.7.19) может быть записан подобно (4.7.10):
Здесь n(C) – действительное число циклов напряжений в условиях с масштабным коэффициентом C. Переменная C аналогична X в (4.7.1) в случае малого интервала времени и D в (4.7.7) в случае большого. Таким же образом, N(C) – это число циклов до разрушения для процесса случайного нагружения с масштабом C, как следует из диаграммы. Сумма взята по всем условиям нагружения. Это описано более подробно в работе /8/.
Рис. 4.7.5 Пример C-Nдиаграммы, это кривая показывающая число циклов до разрушения. Амплитуды напряжений соответствуют распределению Вейбулла и имеют параметры распределения l, h, С/8/. Данные относятся к соединениям класса X.
Билинейные S-N кривые. S-N кривые имеющие предел усталости, упомянутые в предыдущей главе, не вносят вклад в процесс усталости при достаточно малом размахе напряжений, а именно меньше S0. Но все же, конструкции обладают чувствительностью к малым нагрузкам, которая увеличивается с возрастом. Небольшая амплитуда, которая не влияет на усталость, когда конструкция новая, может внести значительный вклад, когда усталостный ресурс конструкции подходит к концу. Для того, чтобы учесть это явление, в качестве S-N кривой была предложена кривая V на рис. 4.7.3. При определенном уровне напряжений S0, кривая меняет наклон так, что число циклов до разрушения можно записать
Численно, параметры могут быть связаны между собой следующим образом:
Подставленные вместе с распределением размахов напряжений для большого интервала (4.7.7) в коэффициент использования h, они дают выражение замкнутого вида:
Дополнительная пара неполных гамма функций G(_;_) и g(_;_) определена в уравнениях (2.6.3) – (2.6.8).
S-N кривые, которые разделены на большое число прямых линий, так же могут быть представлены выражениями замкнутого вида типа (4.7.26). Однако, формулы будут содержать столько членов, насколько это будет удобно для проведения численного суммирования.
Полулогарифмические S-N кривые. В случае полулогарифмической S-N кривой, напротив logN(S) наносят размах напряжений S. Прямая линия на этом графике указывает на то, что число циклов до разрушения N(S) может быть записано
где N(S) – число циклов до разрушения при размахе напряжений S,
N0– параметр S-N кривой,
S – размах напряжений,
B – параметр наклона S-N кривой.
Посмотрите примеры на рис. 4.7.6. Параметр N0может быть принят в качестве фиктивного числа циклов необходимого для того, чтобы вызвать разрушение, когда размах напряжений равен нулю. Естественно, усталостное разрушение при нулевой амплитуде физически невозможно. По этой причине, обязательно должен существовать предел усталости S0.
Рис. 4.7.6 Примеры полулогарифмических S-N кривых. Левый рисунок взят из /1/ и относится к стальным образцам с и без надреза, с ясно выраженным пределом усталости. Правый рисунок взят из /7/ и показывает S-N кривые для стального троса различной конструкции и в различных условиях окружающей среды.
Напротив, если мы игнорируем предел усталости, полагая S0=0, и введем (4.7.27) в (4.7.11), то мы получим
F(t) рассматривают как характеристическую функцию распределения размахов напряжений, как это определено в (2.4.8). Далее, нахождение усталостного ресурса сводится к задаче вычисления характеристической функции распределения. Для многих распределений вероятностей существуют уже известные формулы, которые можно найти в книгах по данной теме.
Если предел усталости S0есть, как это действительно необходимо в (4.7.27), то введение распределения размахов напряжений для большого интервала времени (4.7.7) дает коэффициент использования:
Этот интеграл может быть решен точно лишь в ограниченном числе случаев, некоторые из них будут обобщены ниже. В элементарном гамма распределении k=1, что дает
Неполную гамма функцию находят как в (2.6.7). Экспоненциальное распределение с d=k=1 является особым случаем, который дает
В одностороннем нормальном распределении d=1/2 и k=1, что дает
