Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица – таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное aij. Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом (8, 103):
aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n) (2.1)Итак, коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.
С учётом формулы (2.1) систему уравнений баланса можно переписать в виде:
Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi ,(i = 1, 2,...,n), илиXi= ∑aijXj+Yi (2.3)
если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:
|| x1 || || a11 a12 ... a1n || || y1 || || x2 || || a21 a22 ... a2n || || y2 ||X = || ... ||, A = || ... ... ... ... || , Y = || ... || , || xn || || a1n a2n ... ann || || yn ||то система уравнений (2.3) в матричной форме примет вид (1,238):
X=AX+Y (2.4)
данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”.
С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов (11,239):
· задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):
Y= (E-A)X, (2.5)
(при этом E обозначает единичную матрицу n-го порядка).
· задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
X=(E-A) Y, (2.6)
(при этом (E-A )-1 обозначает матрицу, обратную (E-A)).
· для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.4), а системой линейных уравнений (2.3).
Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Переписав матричное уравнение в виде: (E - A) X = Y, можно сделать следующие выводы: Если матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю), тогда имеем: X = (E - A) -1 Y.Обозначим обратную матрицу В= (E - A)-1 Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (2.6) теперь запишется как:X=BY (2.7) (11)Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (2.7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение (11):Xi =∑biYj, I=1…n В отличие от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта: || 1 || || 0 || || 0 || || 0 || || 1 || || 0 ||Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,..., Yn = ||... || . || 0 || || 0 || || 1 || Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут: ||s11|| ||s12|| ||s1n|| ||s21|| ||s22|| ||sn2||Y1 = ||.. .||, Y2 =||... ||, ..., Yn = ||... ||. ||sn1|| ||sn2|| ||snn|| Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij. Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной (9). Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным.К необходимым же и достаточным условиям относят следующие (11,241):1. матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A) ≥0;2. матричный ряд E + A +A²+A³ +…=∑ Aκ сходиться, причём его сумма равна обратной матрице (E-A); Вычислительные аспекты решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.§2.3 Динамические модели экономики типа "затраты-выпуск"
В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.
В отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.
В рассматриваемой ниже динамической модели (которая является развитием статической межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.