Кластерный анализ в портфельном инвестировании (стр. 3 из 4)
[2,стр.231]где Fi – коэффициент фактора Xi в уравнении множественной регрессии,
Et – ошибка в период времени t. При этом величина T должна значительно (не менее чем в пять раз) превышать количество факторов k.
Значимые факторы отбираются при помощи описанного выше метода с применением коэффициентов последовательной детерминации. Факторы отбираются последовательно, а выбор определяется путем максимизации коэффициента
[2,стр.232]Процесс добавления факторов продолжается до тех пор, пока максимальный скорректированный коэффициент последовательной детерминации не окажется отрицательной величиной. Для любого выбранного количества факторов коэффициенты F1, F2,...,Fk рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок регрессии за период базы прогноза:
[2,стр.236]Этой цели можно достигнуть путем математических преобразований матрицы факторных весов. В настоящее время существует ряд программных пакетов, позволяющих производить данные расчеты с высокой скоростью и за короткое время.
Исследование, проведенное Е.А. Дорофеевым в работе "Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка", выявило значительную зависимость курсов акций отечественных компаний от величины ВВП и индекса CPI.
3. Прогнозирование динамики выбранных факторов
Результатом вышеуказанных вычислений является получение формул множественной регрессии для каждого кластера, с помощью которых, опираясь на статистические данные о динамике факторов, можно получить прогноз развития доходности кластеров на последующий период и оценить величину существующего риска. Преимущество прогнозирования факторов по сравнению с прогнозированием курсов отдельных ценных бумаг состоит в наличии значительно большего количества авторитетных исследований по движению макроэкономических факторов, а также статистических сводок органов государственного регулирования.
Четвертый этап будет посвящен переходу от изучения общих кластерных тенденций к расчету индивидуальных уравнений регрессии для каждой из имеющихся ценных бумаг.
4. Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги.
В большинстве моделей, опирающихся на CAPM, для ценных бумаг рассчитывается бета-коэффициент, отражающий взаимосвязь между динамикой доходности изучаемой ценной бумаги и существующими рыночными тенденциями. Простая линейная регрессия по отношению к рыночной динамике может оказаться слишком неточной, так как не позволяет учитывать специфические факторы, оказывающие на данную ценную бумагу влияние весомее, чем на фондовый рынок в целом. Поэтому для более подробного изучения прибегают к более эффективным средствам, в частности: к факторному анализу. Без сопоставления с существующими тенденциями велик риск усиления влияния случайных факторов. Таким образом, для получения достоверного результата методика анализа рынка ценных бумаг должна совмещать оба вышеописанных подхода.
Достаточно высокая эффективность прогнозирования, основанная на использовании бета-коэффициента показывает, что между отдельными ценными бумагами и состоянием фондового рынка в целом наблюдается существенная зависимость, которую можно использовать для проведения оценки будущей доходности. При этом корреляция доходности ценных бумаг со средней доходностью по кластеру значительно выше, чем с рынком в целом. Поэтому в данной методике бета-коэффициент каждой отдельной ценной бумаги рассчитывается, опираясь на не рыночный индекс, а относительно кластера:
[2,стр.240]где ric – коэффициент корреляции между доходностью ценной бумаги и средней доходностью кластера, к которому она принадлежит,
si и sс – соответственно их среднеквадратические отклонения.
После расчета бета-коэффициента доходность каждой из исследуемых ценных бумаг можно будет выразить при помощи следующего уравнения регрессии:
[2,стр.245]а ожидаемая в следующем периоде доходность будет равна
[2,стр.249]При этом коэффициент неопределенности для каждой ценной бумаги равняется
[2,стр.251]а величина риска -
[2,стр.253]5.Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого весам в инвестиционном портфеле для максимизации доходности.
После всех проведенных преобразований получена для каждой ценной бумаги величину ожидаемой доходности и оценку имеющегося риска. Теперь задача сводится к тому, чтобы определить долевой вес этих ценных бумаг в инвестиционном портфеле с целью максимизации прибыли при заданном уровне риска sп.
Как известно, множество эффективных портфелей расположено на так называемой эффективной границе, не ниже точки минимизации риска. Следовательно, в случае наличия определенности относительно желаемого уровня риска оптимальная точка для заданного набора ценных бумаг может быть определена однозначно:
Основываясь на данных, полученных на трех предыдущих этапах, исходные формулы выглядят следующим образом:
[2,стр.260]Как уже отмечалось, в случае необходимости добавляется условие не отрицательности долей mi.
Вывод: полученная задача легко решается как при помощи стандартно используемых вычислительных методов, так и большинством математических и экономических программных пакетов (MathCAD, SAS, Solver for MS Excel и т.д.).
4. Кластеризация «голубых фишек» российского фондового рынка
В данном разделе проведен анализ наличия кластеров наиболее ликвидных акций российского рынка. Результаты кластеризации отражены на рис. 2.
Т.к. данный анализ построен на корреляции переменных, то мы видим, что наиболее близкие друг другу переменные это РАО ЕЭС (EESR), Мосэнерго (MSNG), Сургутнефтегаз (SNGS), Газпром (GSPBEX) и Татнефть (TATN). То есть на протяжении больше чем одного года, котировки данных акций кореллировали друг с другом, причем очень сильно. Учитывая, что это происходило в прошлом, скорее всего так будет и в будущем.
Следующий кластер - Сибнефть (SIBN) и Ростелеком (RTKM).Также очень зависимы друг от друга.
Рис. 2 «Результаты кластеризации».
Остальные два кластера имеют большое расстояние в Евклидовом пространстве, т.е. котировки этих акций не кореллируют между собой.
Для оценки надежности данных высказываний используем метод корелляции Спирмена непараметрической статистики.
Таблица 2 – Насколько надежен первый кластер.
| Сравниваемые эмитенты | Коэффициент корреляции Спирмена R | Уровень значимости p-level |
| EESR & GSPBEX | 0,806077 | 0,000000 |
| EESR & TATN | 0,785205 | 0,000000 |
| EESR & MSNG | 0,943979 | 0,000000 |
| EESR & SNGS | 0,903574 | 0,000000 |
| SNGS & EESR | 0,903574 | 0,000000 |
| SNGS & MSNG | 0,863814 | 0,000000 |
| TATN & GSPBEX | 0,779617 | 0,000000 |
| TATN & MSNG | 0,753098 | 0,000000 |
| TATN & SNGS | 0,874308 | 0,000000 |
Корелляция достаточно сильная, с уровнем значимости менее 0.05. Вывод : Кластер надежен
Таблица 2 – Насколько надежен второй кластер (Сибнефть и Ростелеком)
| Сравниваемые эмитенты | Коэффициент корелляции Спирмена R | Уровень значимости p-level |
| RTKM & SIBN | 0,946897 | 0,00 |
Вывод : Кластер надежен, корелляция достаточно высокая, с уровнем значимости менее 0.05
Таким образом, при оптимизации структуры портфеля, можно объединить некоторые акции в отдельные кластеры, что при большом количестве активов существенно упрощает расчеты.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Кластерный анализ включает в себя набор различных алгоритмов классификации. Общий вопрос, задаваемый исследователями во многих областях, состоит в том, как организовать наблюдаемые данные в наглядные структуры. В общем, всякий раз, когда необходимо классифицировать "горы" информации к пригодным для дальнейшей обработки группам, кластерный анализ оказывается весьма полезным и эффективным. Кластерный анализ необходим для классификации информации, с его помощью можно определенным образом структурировать переменные и узнать, какие переменные объединяются в первую очередь, а какие следует рассматривать отдельно.
Большое достоинство кластерного анализа в том, что он позволяет производить разбиение объектов не по одному параметру, а по целому набору признаков. Кроме того, кластерный анализ в отличие от большинства математико-статистических методов не накладывает никаких ограничений на вид рассматриваемых объектов, и позволяет рассматривать множество исходных данных практически произвольной природы. Это имеет большое значение, например, для прогнозирования конъюнктуры, когда показатели имеют разнообразный вид, затрудняющий применение традиционных эконометрических подходов.