Классификация систем массового обслуживания и их основные элементы (стр. 6 из 7)

7. Средняя длительность ожидания.

Формула (22) позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

(23)

Дисперсия величины

равна

Формула (23)даёт среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает

требований и среднем; общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна

(24)

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины

. При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т=1 и т=2.

При т=1 в силу (20)

При р=0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение а

приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500;1,633; 8,100.

При m=2 в силу (24)

При

=0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение а

приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Раздел ІІІ. Пример использования СМО с ожиданием

В городе имеется транспортное агентство для обслуживания населения. Число заявок на обслуживание случайно и представлено выборкой 1.

Время перевозок (включая время возвращения в гараж), так же случайно и представлено выборкой 2.

Определить :

1) оптимальное число автомашин в агентстве, выполняющих операции в течение 10 часов в день; полагая, что обслуживание одной заявки приносит доход в 20 грн, а простой автомашины приносит убыток 3,25 грн. в час.

2) 5-6 операционных характеристик, наиболее существенных для анализа работы агентства.

3) Вероятность занятости каждой из автомашин в предложении, что все машины пронумерованы, а обслуживание очередной заявки осуществляет свободная машина с наименьшим номером.

Выборка 1 число заявок на перевозку за день =0,046229

Х1 ={8;5;8;4;21;0;9;3;8;5;1;4;12;0;10;1;0;7;2;21;1;3;4;6;0;8;2;22;1;2;8;4;5;6;2;6;

3;6;16;7;2;2;2;13;5;5;21;2;4;}

Выборка 2 Время обслуживания одной заявки в часах.

Х2 = 25,52,22,7,15,55,43,11,25,24,23,24,13,15,11,38,8,18,14,73,8,48,22,4,30,6,17,12,23,112,10,45,4,32,123,39,59,19,5,12,5,7,74,57,10,35,12,28,11,16.

Прежде чем рассматривать транспортное агентство как СМО, необходимо доказать, что мы имеем на это право.

Действительно, наше транспортное агентство обладает всеми присущими СМО элементами.

Входящий поток - заявки на перевозку, есть очередь неограниченной длинны, обслуживающими приборами являются автомашины, обслуженные заявки составляют входящий поток.

Обоснуем наши утверждения и поясним. Входящий поток, как уже отмечалось, являются заявки на обслуживание населения. Для дальнейшей работы необходимо убедиться в том что входящий поток является простейшим (пуассоновским).

Докажем это на сознательном уровне. Ординарность вытекает из следующих соображений: две или более заявок вряд ли успеют в секунду в секунду прибыть к транспортному агентству, какая то одна все равно будет первой а остальные будут вынуждены стать в очередь, к тому же одна машина одновременно не станет заниматься двумя или более заявками.

Отсутствие после действия обуславливается тем что заказчик машины (на обслуживание) вряд ли знает, сколько поступило заявок на обслуживание до него и сколько ему придется ждать обслуживания, т.е. заявки поступают не зависимо друг от друга.

Стационарность обслуживается тем что число заявок на транспортировку за один час в среднем постоянно.

Таким образом можно сделать вывод что входящий поток требований имеет Пуассоновское распределение.

Приведём критерий проверки распределения входящего потока требований на соответствие пуассоновскому закону распределения.

Одним из признаков того, что случайная величина распределена по закону распределения Пуассона, является совпадение математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же случайной величины, то есть:

В качестве оценки для математического ожидания обычно выбирают выборочное среднее

а в качестве оценки дисперсии - выборочную дисперсию:

где n - объём выборки X1={

};

N - объём вариационного ряда;

- частота в выборке Х1.

Проведём расчёты:

Найдём отношение:

»1

Результаты проверки распределения входящего потока требований на соответствие пуассоновскому закону распределения приведены в приложении 2 .

Применение непараметрического критерия А.Н.Колмогорова для проверки статистических гипотез

Рассмотрим применение этого критерия для проверки гипотез о соответствии теоретического распределения случайной величины - эмпирическому, где случайная величина представлена выборкой Х2. И продемонстрируем его применение для анализа распределения времени обслуживания одного из каналов СМО.

Пусть нам задана выборка Х2=

случайной величины ,которая выражает длительность (время) обслуживания заявок одним из каналов исследуемой системы массового обслуживания. Выборка Х2 имеет объём n=50.

Гипотеза Н заключается в том, что случайная величина

имеет показательное распределение с параметром , т.е.

,

где

- оценка параметра показательного распределения , которая находится как обратная величина к исправленному среднему выборочному :

, где ,

а

- элемент выборки Х2, выражает чистое время обслуживания k-той заявки, поступившей в систему массового обслуживания.

Находим оценку параметра

для нашей выборки Х2,

Дальнейший этап исследования заключается в построении эмпирической функции распределения . Для этой цели построим по выборке Х2 вариационный ряд , где - строго упорядоченные, а каждому значению отвечает соответствующая ему частота , равная числу повторений в выборке Х2, причем выполняется тождество: