Классификация систем массового обслуживания и их основные элементы (стр. 3 из 7)
означает вероятность того, что обслуживание, которое ужо продолжается время а, продлится еще не менее чем 
. В предположении, что длительностьобслуживания распределена показательно, 
. Далее ясно, что 
и 
. А так как всегда и 
, 
и, следовательно, 
Требуемое доказано.
Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является,как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания неможет быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требовании нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилиянайти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой
где 
>0, a k— целоеположительноечисло.
Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k- независимых слагаемых, каждоеиз которых имеет распределение (1).
Обозначим для случая распределения (1) через
время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна 
Это равенство даст нам cпосоá оценкипараметра
по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительностиобслуживанияравна 
2. Процесс обслуживания как марковский случайный процесс.
В указанных нами предположениях о потоке требований и о длительности обслуживания задачи теории массового обслуживания приобретают некоторые черты, облегчающие проведение исследований. Мы отмечали уже вычислительную простоту. Теперь отметим более принципиальное соображение, которое станем развивать применительно к изучаемой задаче.
В каждый момент рассматриваемая система может находиться в одном из следующих состоянии: в моментt в системе находятсяk требовании(k=0, 1, 2, ...). Еслиk 
rn, то в системе находятся и обслуживаются kтребований, а m-k -приборовсвободны. Если k
m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания.Обозначим через 
состояние, когда в системе находятсяk требований. Таким образом, система может находиться в состояниях 
... Обозначим через 
— вероятность того, что система в момент t окажется в состоянии 
.Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых нами задач в сделанных предположениях. Пусть в некоторый момент
наша система находилась и состоянии 
. Докажем, что последующее течение процесса обслуживания не зависит в смысле теории вероятностей от того, что происходило до момента . Действительно, дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент ;
моментами появления новых требований;
длительностью обслуживания требований, поступивших после .
В силу особенностей показательного распределения длительность остающейся частиобслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента
. Так как поток требований простейший, то прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента . Наконец длительность обслуживания требований, появившихся после , никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента .