b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b 1x 1 – b 2x 2
a = 17,844 - 0,059* 35,767 – (-1,931* 0,414 )
a = 16,533
Ответ: 16,533
Задача 4.
Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.
Решение:
1. Определим коэффициенты b 1 и b 2:
b 1 = 0,059 b 2 = -1,931
2. Определим коэффициент а:
а = 16,533
3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:
[Х*]= а + b 1[ x 1]+ b 2[x 2]
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| [Х*] | 16,226 | 16,2 40 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,33 | 17,748 |
Задача 5.
Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.
Найти: RSS, TSS, ESS - ?
Решение:
1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:
| Потребление у | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 19,1 | 18 | Σ = 160,6 | Σ /n = 17,84 |
| у* | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,330 | 17,748 | Σ= 160,6 | Σ /n = 17,84 |
у = y*
2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:
TSS = Σ i = 1n ( y i - y) 2
TSS = 9,202
| ( y i - y) 2 | 4,60 | 1,31 | 0,12 | 0,91 | 0,21 | 0,43 | 1,58 | 0,02 | Σ= 9,202 |
3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
ESS = Σ i = 1n ( y i – y*) 2
ESS = 7,316
| ( y i – y*) 2 | 2,614 | 2,571 | 0,031 | 0,279 | 0,241 | 0,724 | 0,609 | 0,237 | 0,009 | Σ= 7,316 |
4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
RSS = Σ i = 1n ( y i – y*) 2
RSS = 1,882
| ( y i – y*) 2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 | 0,063 | Σ= 1,882 |
Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882
Задача 6.
Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5
Найти : R-?
Решение:
1. Вычислим TSS и ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Найдем R 2 по формуле:
R 2 = ESS / TSS
R 2 = 7,316/9,202
R 2 = 0,795
Ответ: 0,795
Задача 7.
Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).
Решение:
1. Найдем Var:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
2. Найдем Cov:
Cov (х 1;х 2) = -0,723
3. Рассчитаем коэффициент корреляции:
r ( x 1;х 2) = Cov (х 1;х 2)/√ Var (х 1)- Var (х 2)
r ( x 1;х 2) = -0,723/3,085
r ( x 1;х 2) = - 0,234
Ответ: - 0,234
Задача 8.
Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.
Найти: S u2(u) - ?
Решение:
1. Найдем RSS:
RSS = 1,882
2. Найдем число степеней выборки
k = n-m - 1
k = 9-2-1
k = 6
3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:
S u2(u) = RSS/ n-m-1
S u2(u) = 1,882/9-2-1
S u2( u ) = 0,3136
Ответ: 0,3136
Задача 9.
Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.
Найти: С.О.( b 1), C . O .( b 2) - ?
Решение:
1. Найдем дисперсию случайного члена:
S u2( u ) = 0,3136
2. Найдем Var:
Var (х 1) = 9,680
Var (х 2) = 0,165
3. Найдем коэффиц. корреляции:
r ( x 1;х 2) = - 0,234
4. Вычислим стандартные ошибки С.О.( b 1), C . O .( b 2):
С.О.( b 1) = (√( S u2( u )/ n * Var (х 1)) * (1/1- r 2 ( x 1;х 2))
С . О .(b 1) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))
C.O.(b 2) = (√(S u2(u)/n * Var( х 2)) * (1/1- r 2 (x 1; х 2))
C.O.(b 2) = (√(0,3136/9* 0,165 ))* (1/1-(- 0,234))
С . О .(b 1) = 0,0486
C . O .( b 2) = 0,3724
Ответ: 0,0486; 0,3724.
Задача 10.
Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.
Найти: DW - ?
Решение:
1. Определим остатки в наблюдениях:
e k = y k – y *k; k = (1:n)
| y(k) | 15,7 | 16,7 | 17,5 | 18,8 | 18 | 18,3 | 18,5 | 19,1 |
| y(k)* | 16,226 | 16,240 | 18,020 | 18,371 | 18,334 | 18,694 | 18,623 | 18,330 |
| e(k) | -0,526 | 0,461 | -0,520 | 0,429 | -0,334 | -0,394 | -0,123 | 0,770 |
| ek-e(k-1) | -0,987 | 0,981 | -0,949 | 0,763 | 0,060 | -0,271 | -0,893 | 0,519 |
| ek-e(k-1)^2 | 0,973 | 0,962 | 0,901 | 0,582 | 0,004 | 0,073 | 0,798 | 0,269 |
| e(k)^2 | 0,277 | 0,212 | 0,271 | 0,184 | 0,112 | 0,155 | 0,015 | 0,593 |
(e k- e k – 1) 2= 4,562
e k2 = 1,882
2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:
DW = Σ (e k-e k – 1) 2/ Σ e k2
DW = 2,424
DW > 2
Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.
Задание 3.2
Задача 1.
Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Найти: а
Решение:
1. Запишем формулу: a =1/ N * Σ Nt=1* x ( t )
2. Вычислим:
а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Ответ: 7,02 (млрд. руб.)
Задача 2.
Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.
Найти: σ = ?
Решение:
1. а = 7,02
2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ 2 = 1/ N *Σ Nt=1x ( t )- a
3. Вычислим:
| х(t) | 5,9 | 6,3 | 6,6 | 6,8 | 7 | 7,1 | 7,4 | 7,9 | 7,8 |
| х(t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 | 0,780 |
| (х(t)-a) 2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,0004 | 0,006 | 0,144 | 0,774 | 0,608 |
σ = 3,676
Ответ: 3,676
Задача 3.
Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)
| х(t)-a | -1,120 | -0,720 | -0,420 | -0,220 | -0,020 | 0,080 | 0,380 | 0,880 |
| (х(t)-a)^2 | 1,254 | 0,518 | 0,176 | 0,048 | 0,000 | 0,006 | 0,144 | 0,774 |
| (х(t)-a)* (х(t+1)-a) | 0,8064 | 0,3024 | 0,0924 | 0,0044 | -0,0016 | 0,0304 | 0,3344 | 0,6864 |
| (х(t)-a)* (х(t+2)-a) | 0,4704 | 0,1584 | 0,0084 | -0,0176 | -0,0076 | 0,0704 | 0,2964 | 0,3344 |
∑ τ (0) = 3,676
∑ τ (1) = 2,552
∑ τ (2) = 1,313
ρ(τ) = 1/( N - τ)∑ t=1N-τ ( x ( t )-в)* ( x ( t +1)-в)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.
Задача 4.
Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1
Найти: r= ? для τ = 1,2
Решение:
1. Найдем τ = 0,1,2
ρ(0) = 0,367
ρ(1) = 0,283
ρ(2) = 0,164
2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:
r ( τ ) = ρ (τ)/ τ(0)
r (1) = 0,283/0,367
r (1) = 0,771
r (2) = 0,164/0,367
r (2) = 0,446
Ответ: 0,771; 0,446
Задача 5.
Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.
Найти: r частная (2) = ?
Решение:
1. Найдем выборочную автокорреляцию
r (1) = 0,771
r (2) = 0,446
2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:
r частная (2) = r (2) – r 2 (1)/ 1 - r 2 (1)
r частная (2) = 0,446 – (0,771) 2 / 1 - (0,771) 2
r частная (2) = - 0,365
Ответ: - 0,365
Задача 6.
С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:
| 1 | 6200 | - |
| 2 | 6300 | - |
| 3 | 6400 | - |
| 4 | 6600 | + |
| 5 | 6400 | - |
| 6 | 6500 | не рассматриваем |
| 7 | 6600 | + |
| 8 | 6700 | + |
| 9 | 6500 | не рассматриваем |
| 10 | 6700 | + |
| 11 | 6600 | + |
| 12 | 6600 | + |
| 13 | 6300 | - |
| 14 | 6400 | - |
| 15 | 6000 | - |
Решение:
1. Определим число наблюдений: n=15
2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Вычислим медиану:
n = 15;
х мед = n+1/2 = 15+1/2
x мед = 8
x мед = 6500
4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:
если х( i ) < х мед , то +; если х( i ) > х мед , то -.
5. Определим общее число серий:
v(15) = 6
6. Протяженность самой длинной серии:
τ(20) = 3
7. Проверим неравенства:
v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)
v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)
v(n) = 1,166
6 > 1 – выполняется
τ (n) < (1,43*ln(n+1))
τ( n ) < (1,43* ln (15+1))
τ( n ) = 3,96
3 < 3,96 – выполняется
Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.
Ответ: гипотеза принимается.