Оптимизационные модели межотраслевого баланса (стр. 4 из 6)
Из (28) следует:
(29)Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна:
, a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: 
. Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресурсов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.Полное использование только одного вида ресурсов (или наличие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптимального решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной части конечной продукции заданы в виде ЦФП:
(30)Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:
(31)где F = f (Е – А) –1 – матрица коэффициентов полных затрат ресурсов,
.Оптимальное решение этой модели всегда существует и является единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наиболее удаленной от начала координат поверхности безразличия и выпуклого многогранника, образованного условиями
. Если эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно, что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой оптимума будет вершина многогранника, выше, чем в случае применения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что максимум u(Y) достигается на одной из граней многогранника, т. е. при полном использовании только одного ресурса.Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом параграфе моделей является то, что оптимальный план чаще всего достигается при полном использовании только одного ресурса. А это означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономической реальности; оно обусловлено недостатком моделей.
В моделях (24), (27), (30) почти отсутствуют возможности маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность. По каждому виду продукции задается только один производственный способ, а поэтому технология производства не реагирует на выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ресурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток можно преодолевать лишь отчасти.
Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели народного хозяйства должны включать условия выбора между различными способами- производства одноименной продукции.
§3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции).
Построим модель, представляющую собой непосредственное обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме (22). В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции
производится несколькими способами 
, где Tj= {1, ... , sj}. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Введем новые обозначения: 
– объем производства продукции j способом 
j; 
– коэффициент прямых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом j; 
– затраты труда на единицу продукции j, производимой способом 
j.Модель имеет вид:
(32)
Модель (32) всегда имеет решение, если выполняются условия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса. Например, одно допустимое решение может быть получено, если включить в план по одному способу для каждого вида продукции, а все остальные переменные считать равными нулю. Так может быть составлено
систем уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции, каждая из которых имеет решение, если матрица продуктивна.Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфических свойств.
Теорема 1. При положительном векторе конечной продукции Y0 > 0 производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом.
Доказательство. Напомним, что мы исходим из предположения, что оптимальный план – единственный. Введем в условия дополнительные переменные Δyi (излишки конечной продукции сверх минимально необходимых объемов
), превращающие неравенства в равенства.В каждом i-м уравнении
положительными являются только коэффициенты при переменных Х. Но поскольку все
, то и все 
, т. е. оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных
положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт производится только одним способом.Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число возможных положительных переменных исчерпывается переменными способов производства, то все Δyi в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравенства строго в равенства.
Введем дополнительные обозначения: X* – оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то «лучшего» способа производства); A* – матрица коэффициентов материальных затрат, составленная из способов, которые вошли в оптимальный план.
Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только «лучших» способов. Матрицы A* и (Е – А*) обладают теми же экономико-математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого баланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование матрицы (Е – А*)–1 ≥ 0. Элементы матрицы (Е – А*)–1 являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:
(E – A) X* = Y0 или X* = (E – A)–1Y0.
Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y0.
Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y0, достаточно – в соответствии с (15),– чтобы выполнялось условие
(E – A*)–1Y0 ≥ 0.
Поскольку матрица (E – A*)–1 ≥ 0, условие (E – A*)–1Y0 ≥ 0 выполняется всегда при любом Y0 ≥ 0 и тем более при Y0 > 0.
Пусть для некоторого Y0 > 0 получено решение X*. Базис полученного решения (Е – А*) остается неизменным и тогда, когда вектор Y0 будет изменяться любым образом в положительной области (0 < Y0 < +∞). Если базис оптимального плана – неразложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y0 ≥ 0.
Это означает, что вычислив матрицу (E – A*)–1 для одного варианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.