, (11)

;

(12)

где R задает верхнюю границу риска портфеля.

В работе предлагается метода ветвей и границ для решения задачи (9)-(12), основанный на вычислении текущих оценок целевой функции при формировании очередного варианта портфеля ценных бумаг. В качестве верхней оценки выбирается значение целевой функции (9) при ограничениях (11) и (12), то есть ограничение (10) не учитывается. В качестве нижней оценки выбирается значение целевой функции задачи (9)-(12) на сформированном допустимом целочисленном портфеле. Вычисление верхней и нижней оценок ожидаемой доходности оптимального портфеля позволяет при анализе всех возможных вариантов его формирования отбраковать все неэффективные портфели.

В диссертации представлено несколько практических примеров расчета оптимальных портфелей ценных бумаг с использованием целочисленной модели (1)-(4), базирующейся на использовании коэффициентов риска (b_i)
, рассчитанных на основе данных о котировках ценных бумаг, представленных Российской Торговой Системой. Этот коэффициент риска рассчитывается относительно индекса РТС. На практике допустимо заменять «бету» относительно рыночного портфеля (согласно САРМ) на «бету», рассчитанную относительно рыночного индекса, в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля, состоящего из всех акций обращающихся на рынке, не удается. Индекс РТС рассчитывается для 68 российских акций. По состоянию на 30 мая 2005 года индекс РТС равнялся 666,79.

В работе при формировании портфеля использовались семь видов российских акций, которые входят в 20-ку высоколиквидных ценных бумаг, вращающихся на российском фондовом рынке («Голубые фишки»). Акции выбраны из различных отраслей российской экономики, с тем, чтобы их диверсификация способствовала уменьшению собственного риска портфеля. В их состав вошли:

1) EESR РАО ЕЭС России обыкновенные

2) LKOH ЛУКойл-Холдинг обыкновенные

3) RTKM Ростелеком обыкновенные

4) GUMM ГУМ обыкновенные

5) SNGSP Сургутнефтегаз привилегированные

6) TATN Татнефть обыкновенные

7) YUKO ЮКОС, обыкновенные

Недельный прогноз курса рассматриваемых акций представлен в таблице 1.

Таблица 1. Прогнозируемое изменение курсов акций на 7 июня 2005 года (долл. США за 1 акцию)

EESR	LKOH	RTKM	GUMM	SNGSP	TATN	YUKO
Текущий курс	0,26	34,6	2,1	2,3	0,54	1,76	0,5
Прогнозируемый курс	0,36	39,88	2,44	1,92	0,64	1,74	0,55

Выбранные акции продаются лотами в стандартном объеме по 100 акций. В работе рассмотрены различные варианты формирования целочисленных портфелей ценных бумаг, различающиеся по составу акций. Результаты расчетов приведены в таблицах 2-5.

Таблица 2. Оптимальный портфель, состоящий из 4 видов акций, при покупке акций лотами

EESR	LKOH	RTKM	GUMM	Итого	Лимит
Начальная стоимость 1 акции	0,28	34,6	2	12,3
Будущая стоимость 1 акции	0,34	39,88	2,41	1,92
Количество акций в лоте	100	100	100	100
Коэффициент риска акций	0,92	1,45	0,88	0,31
Инвестиции в акции	28	0	200	0	228	2000
Общая доходность по акциям	6	0	41	0	47
Доля риска акций в портфеле	0,11	0	0,77	0	0,88	1,1
Доля акций в портфеле	1	0	1	0

Таблица 3. Оптимальный портфель, состоящий из 5 видов акций, при покупке акций лотами

EESR	LKOH	RTKM	GUMM	SNGSP	Итого	Лимит
Начальная стоимость 1 акции	0,28	34,6	2	12,3	0,54
Будущая стоимость 1 акции	0,34	39,88	2,41	1,92	0,64
Количество акций в лоте	100	100	100	100	100
Коэффициент риска акций	0,92	1,45	0,88	0,31	1,21
Инвестиции в акции	28	3460	200	0	54	3742	4500
Общая доходность по акциям	6	528	41	0	10	585
Доля риска акций в портфеле	0,01	1,11	0,04	0	0,01	1,17	1,25
Доля акций в портфеле	1	1	1	0	1

Таблица 4. Оптимальный портфель, состоящий из 6 видов акций, при покупке акций лотами

EESR	LKOH	RTKM	GUMM	SNGSP	TATN	Итого	Лимит
Начальная стоимость 1 акции	0,28	34,6	2	12,3	0,54	1,76
Будущая стоимость 1 акции	0,34	39,88	2,41	1,92	0,64	1,74
Количество акций в лоте	100	100	100	100	100	100
Коэффици-ент риска акций	0,92	1,45	0,88	0,31	1,21	1,25
Инвести-ции в акции	28	3460	200	0	54	0	3742	4500
Общая доходность по акциям	6	528	41	0	10	0	585
Доля риска акций в портфеле	0,01	1,11	0,04	0	0,01	0	1,17	1,25
Доля акций в портфеле	1	1	1	0	1	0

Таблица 5. Оптимальный портфель, состоящий из 7видов акций, при покупке акций лотами

EESR	LKOH	RTKM	GUMM	SNGSP	TATN	YUKO	Итого	Лимит
Начальная стоимость 1 акции	0,28	34,6	2	12,3	0,54	1,76	0,5
Будущая стоимость 1 акции	0,34	39,88	2,41	1,92	0,64	1,74	0,55
Количество акций в лоте	100	100	100	100	100	100	100
Коэффициент риска акций	0,92	1,45	0,88	0,31	1,21	1,25	1,62
Инвестиции в акции	28	3460	200	0	54	0	50	3792	4500
Общая доходность по акциям	6	528	41	0	10	0	5	590
Доля риска акций в портфеле	0,001	1,11	0,04	0	0,01	0	0,02	1,19	1,25
Доля акций в портфеле	1	1	1	0	1	0	1

По результатам проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

1. Как и ожидалось, непрерывные инвестиционные портфели являются более эффективными по соотношению показателей риск-доходность по сравнению с целочисленными, но они не всегда могут быть использованы на практике из-за того, что во многих случаях торговля ценными бумагами осуществляется лотами и чаще всего дробление ценных бумаг на доли невозможно.

2. Вследствие дополнительных ограничений на целочисленность инвестиционные ресурсы при формировании целочисленных портфелей используются не полностью.

3. Оптимальные портфели для пяти видов ценных бумаг (таблица 3) и шести видов (таблица 4) идентичны. Это связано с тем, что акции Татнефти обладают невысокой доходностью, а коэффициент β для них выше, чем у всех остальных видов, за исключением акций Лукойла. В этом случае можно говорить об определенной устойчивости портфеля по отношению к множеству видов ценных бумаг, из которых он формируется.

В третьей главе диссертации «Управление инвестициями в оборотный капитал предприятия» разработаны модели управления инвестициями в оборотный капитал предприятия, в частности, в производственные запасы с учетом неопределенности цен и издержек на конечную продукцию.

Автором рассмотрена ситуация многономенклатурного производства, в которое инвестируются средства в закупку материальных ресурсов. Структура портфеля этих закупок должна быть такой, чтобы, с одной стороны, минимизировать дисперсию маржинального дохода производственной программы, являющуюся количественной оценкой риска, с другой, – обеспечить достижение ожидаемой прибыли при реализации произведенной продукции не ниже заданного уровня.

При решении этой задачи используется метод условной субоптимизации, согласно которому один из этих критериев выступает в качестве глобального, а по другому вводят ограничения.

Предположим, что уровень маржи c_i = a_i ‑ b_i (i = 1, . . . , n) по каждому виду продукции есть величина случайная, с заданным вероятностным распределением, т. е. значениями маржимогут быть числа

с вероятностями p₁ , . . . , p_m соответственно:

;

Обозначим через Zt_i - затраты на материальные ресурсы при производстве одной единицы продукции вида i (i = 1, 2, . . ., n). Легко видеть, что

где

- затраты материальных ресурсов вида i для выпуска одной единицы продукции вида j;

- цена одной единицы материальных ресурсов вида j.

Величина затрат на материальные ресурсы при выпуске производственной программы, заданной вектором

, должна удовлетворять следующему неравенству:

или

Двухкритериальные модели управления портфельными инвестициями с учетом риска (стр. 3 из 5)