Дисперсионный анализ при помощи системы MINITAB для WINDOWS (стр. 2 из 6)
Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид [1-4]:
где
- общее среднее, 
-отклонение от общего среднего для фактора x1, 
- отклонение от общего среднего для фактора x2, 
- отклонение от общего среднего для взаимодействия двух факторов, 
- случайная составляющая.В этом случае общую сумму квадратов отклонений Q0 можно разбить на четыре суммы:
1) Qx1-по фактору x1,
2) Qx2-по фактору x2,
3) Qe-остаточную сумму квадратов, зависящую от ошибки e,
4) Q x1x2-зависящую от взаимодействия (произведения) x1x2 двух факторов.
В этом случае по выборочным значениям вычисляются:
1) среднее
для каждого уровня фактораx1: 
;2) среднее
для каждого уровня фактора x2: 
;3) общее среднее
по всем N опытам, т.е. по всем m параллельным опытам на всех сочетаниях уровней факторов x1 и x2 ( 
): 
;4) среднее
по m параллельным опытам для каждого сочетания уровней факторов x1 и x2: 
.В табл.2 показаны данные полного факторного эксперимента с одинаковым числом наблюдений в ячейках.
Таблица 3. - Данные эксперимента и расчёты средних при двухфакторном дисперсионном анализе
| j = | 1 | 2 | … |  |  | |
 i = | k |  |  | … |  | |
| 1 | 1 |  | ||||
| 2 |  | |||||
| … | … | |||||
| m |  | |||||
| ... | 1 | |||||
| 2 | ||||||
| … | ||||||
| m | ||||||
 | 1 | |||||
| 2 | ||||||
| … | ||||||
| m | ||||||
 |  | |||||
В табл.2
вычисляется по выделенной части столбца, содержащей m параллельных опытов.Общая сумма квадратов отклонений Q0 рассчитывается по формуле:
Эту сумму можно разложить на 4 составляющие:
1) сумму, характеризующую влияние фактора x1:
;2) сумму, характеризующую влияние фактора x2:
;3) сумму, характеризующую результат влияния взаимодействия x1x2:
4) сумму, характеризующую влияние ошибки e:
Указанные пять сумм, поделенные на соответствующее число степеней свободы, дают пять различных оценок дисперсии, если влияние факторов x1 и x2 незначимо. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются следующие дисперсии:
1) оценка дисперсии относительно общего среднего
: 
,где
-общее число наблюдений, а число степеней свободы 
;2) оценка дисперсии «между строками», определяемыми уровнями x1j:
,где
- число степеней свободы.3) оценка дисперсии «между столбцами», соответствующими уровням фактора x2:
,где
- число степеней свободы;4) оценка дисперсии «между сериями» по m параллельным опытам каждая
с числом степеней свободы
;5) оценка дисперсии «внутри серий» по m параллельным опытам, вычисляемая как средняя оценка по всем u1u2 сериям:
с числом степеней свободы
.Числа степеней свободы должны удовлетворять соотношению
Статистическое оценивание значимости влияния факторов x1 , x2 и взаимодействия x1x2 выполняются по F-критерию Фишера, для чего формируются следующие F-отношения:
, 
, 
.Фактор x1 или x2 , или взаимодействие x1x2 признаются незначимым, если соответствующее F-отношение оказывается меньше критического, выбранного из таблиц для принятого уровня значимости
и числа степеней свободы сравниваемых дисперсий.Для того, чтобы сделать вывод о том, влияют ли на исследуемые показатели качественные факторы, выдвигают следующие гипотезы:
H0:
, т.е средние значения по всем столбцам равны фактор столбца не оказывает влияния на исследуемый показатель.H1:
, , т.е средние значения по всем столбцам не равны фактор столбца оказывает существенное влияние на исследуемый показатель.H0:
, т.е средние значения по всем строкам равны фактор строки не оказывает влияния на исследуемый показатель.H1:
, , т.е средние значения по всем строкам не равны фактор строки оказывает существенное влияние на исследуемый показатель.H0:
, т.е отклонение взаимодействия факторов равно нулю и взаимодействие не значимо..H1:
, фактор взаимодействия значим..Если
, то принимается нулевая гипотеза при соответствующем уровне значимости о том, что исследуемый фактор не оказывает существенного влияния на количественные данные.Если
, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что исследуемый фактор оказывает существенное влияние на количественные данные.Результаты двухфакторного дисперсионного анализа представляются в виде табл.3.
Таблица 3. - Двухфакторный дисперсионный анализ при равном числе наблюдений в ячейках
| Вид изменчивости | Сумма квадратов отклонений | Число степеней свободы | Оценка дисперсии | F – отношение |
| От фактораx1 | |  |  |  |
| От фактораx2 | |  |  |  |
| От взаимо-действияx1x2 |  |  |  |  |
| Остаточная(от e) | |  |  | |
| Общая | |  | |
m – число данных в строке (число повторов в ячейке),
- число столбцов, 
- число строк.