Теория статистики 2 (стр. 6 из 7)
Порядок расчета этих показателей
1 шаг
Значения х и у ранжируются, т.е. определяется Nxи Ny
2 шаг
Значения Nx записываются строго в порядке возрастания или убывания
3 шаг
Ранги второго показателя Ny располагаются в порядке соответствующем значению х в исходном порядке
4 шаг
Для каждого значения Nх подсчитывается число следующих за ним рангов более высокого порядка. Общая сумма таких случаев правильного следования учитывается для всех рангов как баллы со знаком «+» и обозначаются Р
5 шаг
Аналогично для каждого значения Ny последовательно подсчитывается число следующих за ним рангов меньших по значению. Общая сумма таких случаев (инверсий) учитывается как баллы со знаком «-» и обозначаются Q
6 шаг
Определяется общая сумма баллов, которая обозначается S=P+Q
7 шаг
Полученная сумма S сопоставляется с максимумом, который равен
, в случае если в обоих рядах ранги следуют строго последовательно от 1 до n.Между коэффициентом Кендэна и Спирмена есть численное соотношение
Интерпретация значений ранговых коэффициентов корреляции аналогична любым другим, т.е. чем ближе ρ и τ к 1, тем теснее зависимость, близость к 0 – отсутствие связи
Частный случай
Если ранги повторяются, т.е. признаки имеют повторяющиеся значения. При ранжировании повторяющимся значениям присваивается ранг, рассчитанный как среднее арифметическое из суммы мест, которое они занимают по возрастанию
Коэффициент конкордации
Корреляция рангов R может использоваться не только для двух, но и для большего числа показателей, факторов. Исчисляемый для этой цели показатель называется коэффициентом конкордации (W)
где m - количество коррелируемых факторов
n - число наблюдений
S - сумма квадратов отклонений суммы рангов по m факторам от их средней арифметической
а)
б)
где Ri- ранг i-го показателя
Алгоритм расчета коэффициента конкордации:
1. Ранжируем каждый из трех показателей Rx; Ry; Rz
2. Находим сумму рангов по каждой строке
и общую сумму строк.3. Возводим в квадрат сумму рангов по каждой строке и находим общую сумму всех строк
4. Находим S по формуле б)
Этот же расчет можно получить по формуле а), если сначала определить среднюю сумму рангов
5. Рассчитываем коэффициент конкордации.
Коэффициент конкордации используется в экспертных оценках для определения согласованности мнений экспертов (m экспертов) в распределении мест рангов между n исследуемыми факторами или объектами по их приоритетности.
Тема: Изучение взаимосвязи на основе анализа таблиц
взаимосопряженности
Особое место в изучении взаимосвязи занимают исследования особенности распределения единиц совокупности по двум признакам. По характеру распределения можно судить случайно оно или нет, т.е. есть ли зависимость между признаками положенными в основные группировки или нет.
Для определения связи между неколичественными признаками применяют критерий Пирсона
где mij- эмпирические
mґ ij- теоретические
Число степеней свободы
где k1 и k2 – число строк и столбцов
Данные статистического наблюдения располагаются в таблице
| yx | I | II | III | Всего |
| I | m11 | m12 | m13 | mi |
| II | m22 | mi | ||
| III | m33 | mi | ||
| Всего | mj | mj | mj | m |
С помощью коэффициента взаимной сопряженности находим взаимосвязь между неколичественными признаками через число совпадений.
Теоретические частоты рассчитываются по каждой строке или столбцу пропорционально общим итогам исходя из гипотезы о случайности распределения
Чтобы сделать вывод о случайности или не случайности распределения, находят табличное (пороговое) значение χ2 , допустимое при случайных расхождениях между эмпирическими mij и теоретическими mґij при определенном числе степеней свободы и уровне значимости. Если χ2 фактическое больше χ2 табличного, распределение не случайно и скорее связано с зависимостью между признаками.
Для измерения тесноты зависимости между указанными признаками используются следующие показатели:
Коэффициент ассоциации
Коэффициент контингенции
Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона
Где
Коэффициент сопряженности Чупрова
где k1 и k2 – число строк и столбцов в таблице.
Коэффициент ассоциации и контингенции могут использоваться только для четырех клеточных таблиц (таблиц четырех полей)
| I | II | |
| I | a | b |
| II | c | d |
А коэффициенты сопряженности Пирсона и Чупрова для таблиц любой размерности.
Тема: Вариационные ряды и их распределение
Момент распределения вариационного ряда
В математической статистике под моментом распределения k-го порядка понимается средняя арифметическая k-й степени отклонения отдельных вариантов от постоянной величины А
Если принять А=0, то моменты распределения называются начальными
Тогда начальный момент 1-го порядка
Начальный момент 2-го порядка
Если А=x, то моменты называются центральными
Центральный момент третьего порядка используется для характеристики асимметричности распределения. Т.к. для симметричных рядов
Чтобы сравнивать асимметричность в разных рядах μ3 сопоставляют со средним квадратичным в кубе.
Нормированный момент третьего порядка
Показатель асимметрии AS
Если r3>0 асимметрия правосторонняя (вытянутость вправо), при r3<0 – левосторонняя асимметрия.
Коэффициент асимметрии Пирсона
Центральный момент четвертого порядка μ4 используется для характеристики крутости ряда (эксцесс). Для нормального распределения характерно такое соотношение между μ4 и μ2.
, но 
В качестве показателя эксцесса Ex
Если эксцесс Ex>0, то ряд островершинин, если Ex<0, то ряд низковершинин.
Эти характеристики применяются для анализа вариационных рядов и определения, типа кривой распределения и при выравнивании вариационных рядов.
Выравнивание вариационных рядов (Построение теоретических распределений)
Под выравниванием вариационных рядов понимают замену эмпирического (фактического) распределения близким к нему по характеру теоретическим распределением (вероятностным) имеющим определенные аналитические выражения.
Наиболее распространено нормальное распределение, график которого имеет форму колоколообразуещей прямой симметричной относительно х среднего, концы которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Она имеет точку перегиба на расстоянии δ от центра симметрии.
Кривая выражается уравнением
где у – ордината кривой нормального распределения
t – нормированные отклонения
При выравнивании по кривой нормального распределения теоретические частоты определяются по формуле