Экономико математические методы и модели 3 (стр. 4 из 5)
= 15*0,3 + 21*0,4 + 9*0,3 = 15,6.Оптимальной по критерию Байеса является стратегия
, так как именно ей соответствует наибольшее из чисел 
: | max | { | 54.1 | ; | 73 | ; | 46 | } | = | 73 ; |
Таким образом, располагая информацией о возможных состояниях природы, наиболее выгодным для фермера будет использование стратегии А1 – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Среднее значение ожидаемой прибыли в этом случае составит 54,1 ден. ед.
б) для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием максимаксного критерия, применим формулу:
.Получаем:
m1 = {37; 73; 46} = 73;
m2 = {34; 44; 29} = 44;
m3 = {15; 21; 9} = 21;
Оптимальной по максимаксному критерию является стратегия
, так как именно ей соответствует наибольшее из чисел 
: | max | { | 73 | ; | 44 | ; | 21 | } | = | 73 ; |
Таким образом, в расчете на самое благоприятное стечение обстоятельств, наиболее выгодным для домовладельца будет использование стратегии
– вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Прибыль, потраченная при этом от продажи зерна, составит 73 ден. ед.Определим оптимальную стратегию игрока А по критерию Вальда:
w1 = min {37; 73; 46} = 37;
w2 = min {34; 44; 29} = 29;
w3 = min {15; 21; 9} = 9.
| max | { | 37 | ; | 29 | ; | 9 | } | = | 37 ; |
Следовательно, оптимальной по критерию Вальда является стратегия
– вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. При этом минимальная прибыль составит 37 ден. ед.Для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием критерия Сэвиджа составим матрицу рисков. В каждом столбце платежной матрицы определим максимальный элемент и вычтем из него все элементы данного столбца. В первом столбце максимальным является элемент h11 = 37, во втором – h12 = 73, в третьем – h13 = 46.
Матрица рисков представлена в таблице 4.2.
Таблица 4.2
  |  |  |  |
| | 0 | 0 | 0 |
 | 3 | 29 | 17 |
 | 22 | 52 | 37 |
Определим максимальный риск при использовании каждой стратегии.
Получаем:
r1 = max {0; 0; 0} = 0,
r2 = max {3; 29; 17} = 29,
r3 = max {22; 52; 37} = 52.
| min | { | 0 | ; | 29 | ; | 52 | } | = | 0 ; |
Таким образом, оптимальной по Сэвиджу является стратегия
– вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.Для определения оптимальной стратегии по критерию Гурвица найдем показатель критерия по формуле
, .Получаем:
γ1 = 0,8*37 + (1 – 0,8)*73 = 44,2;
γ2 = 0,8*29 + (1 – 0,8)*44 = 32,0;
γ3 = 0,8*9 + (1 – 0,8)*21 = 11,4.
| max | { | 44,2 | ; | 32,0 | ; | 11,4 | } | = | 44,2 ; |
Следовательно, оптимальной является стратегия
– вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.Для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием критерия Лапласа определим средние арифметические значения «выигрыша» домовладельца по формуле
, 
.Получаем:
= (37 + 73 + 46)/3 = 156/3 = 52; 
= (34 + 44 + 29)/3 = 107/3 = 
; 
= (15 + 21 + 9)/3 = 45/3 = 15.Оптимальной по критерию Лапласа является стратегия
– вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли, так как ей соответствует наибольшее из чисел 
: | max | { | 52 | ; | | ; | 15 | } | = | 52 ; |
Таким образом, если все состояния природы представляются равновозможными, то для обеспечения средней прибыли в размере 52 ден. ед. фермеру следует придерживаться стратегии
– вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.Для наглядности все результаты вычислений приведем в сводной таблице 4.3.
Таблица 4.3
| | | | |  |  |  |  |  | |
| | 37 | 73 | 46 | 54,1 | 73 | 37 | 0 | 44,2 | 52 |
| | 34 | 44 | 29 | 36,5 | 44 | 29 | 29 | 32,0 | |
| | 15 | 21 | 9 | 15,6 | 21 | 9 | 52 | 11,4 | 15 |
Вывод: Проведенное по совокупности статистических критериев исследование возможных вариантов внесения удобрений на 1 гектар земли позволяет сделать следующее заключение:
а) при наличии достоверной информации о состоянии природы фермеру следует вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли (стратегия
). При этом ожидаемая прибыль составит 54,1 ден. ед.б) при отсутствии информации о состоянии природы фермеру также следует вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли (стратегия
). Такое решение продиктовано на основании всех критериев, не использующих вероятностный подход. Заметим, что максимальная прибыль при выборе данной стратегии составит 37 ден. ед. при самых неблагоприятных погодных условиях.Задача 5-2
Для реконструкции и модернизации производства выделены денежные средства в объеме 100 тыс. ден. ед., которые следует распределить между четырьмя цехами. По каждому из цехов известен возможный прирост
выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы x ≤ 100.000 (возможные значения x и 
приведены в таблице). Необходимо так распределить средства, чтобы максимально увеличить выпуск продукции производства в целом. | ЦЕХ № 1 | ЦЕХ № 2 | ||||||||||
| x | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | x | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
 | 9 | 17 | 29 | 38 | 47 |  | 11 | 34 | 46 | 53 | 75 |
| ЦЕХ № 3 | ЦЕХ № 4 | ||||||||||
| x | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | x | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
 | 13 | 28 | 37 | 49 | 61 |  | 12 | 35 | 40 | 54 | 73 |
ТРЕБУЕТСЯ: