Экономико математические методы и модели 3 (стр. 3 из 5)

0,70	-0,12	-0,14
Е–A=	-0,10	0,56	-0,18	,
0,00	-0,20	0,60

0,56	-0,18
A11=	=	0,56*0,60 – (-0,18)*(-0,20)	=	0,30	,
-0,20	0,60

Аналогично:

-0,10	-0,18	-0,10	0,56
A12= –	=	0,06	,	A13=	=	0,02	,
0,00	0,60	0,00	-0,20

-0,12	-0,14	0,70	-0,14
A21= –	=	0,10	,	A22=	=	0,42	,
-0,20	0,60	0,00	0,60

0,70	-0,14	-0,12	-0,14
A23= –	=	0,14	,	A31=	=	0,10	,
-0,10	-0,18	0,56	-0,18

0,70	-0,14	0,70	-0,12
A32= –	=	0,14	,	A33=	=	0,38	,
-0,10	-0,18	-0,10	0,56

При этом ∆ = 0,70*0,30 – 0,12*0,06 – 0,14*0,02 = 0,20,

	1,5	0,5	0,5
	=	0,3	2,1	0,7	,
	0,1	0,7	1,9

Умножая матрицу

на C, найдем искомые полные выпуски продукции:

х1	1,5	0,5	0,5	360	1,5*360	+	0,5*90	+	0,5*450	810
х2	=	0,3	2,1	0,7	*	90	=	0,3*360	+	2,1*90	+	0,7*450	=	612	,
х3	0,1	0,7	1,9	450	0,1*360	+	0,7*90	+	1,9*450	954

То есть, х₁ = 810, х₂ = 612, х₃ = 954.

3. При определении запаса

k-го вида ресурсов, необходимого для производства найденных полных выпусков продукции, достаточно умножить матрицу ресурсо-затрат B на матрицу-столбец из полных выпусков продукции:

b1	0,23	0,05	0,05	0,23*810	+	0,05*612	+	0,05*954	264,6
810
b2	1,50	2,50	0,00	1,50*810	+	2,50*612	+	0,00*954	2745,0
=	*	612	=	=	,
b3	0,50	2,00	0,30	0,50*810	+	2,00*612	+	0,30*954	1915,2
954
b4	0,20	1,00	1,00	0,20*810	+	1,00*612	+	1,00*954	1728,0

То есть запас ресурса

следует иметь в количестве 264,6 ед., ресурса – в количестве 2745 ед., ресурса – в количестве 1915,2 ед., ресурса – в количестве 1728 ед.

Задача 4-2

Урожайность пшеницы зависит от количества внесенных удобрений и погодных условий. Фермер может вносить на 1 гектар

, или центнеров удобрений. Погодные условия характеризуются тремя состояниями: , и . Урожайность пшеницы с одного гектара составляет центнеров при внесении центнеров удобрений и состоянии погоды . Рыночная цена на зерно составляет ден. ед., если было внесено ц/га удобрений. Стоимость одного центнера удобрений составляет S ден. ед.

Требуется определить, какое количество удобрений следует вносить в почву, чтобы получить как можно большую прибыль, если: а) известны вероятности

состояний природы ; б) о вероятностях состояний природы ничего определенного сказать нельзя.

Указание. Составить платежную матрицу, рассчитав значении прибыли по формуле:

, .

Исходные данные:

а1	а2	а3	с1	с2	с3	b11	b12	b13	b21	b22	b23	b31	b32	b33	S	p1	p2	p3	λ
2	4	6	9	5	3	5	9	6	10	12	9	13	15	11	4	0,3	0,4	0,3	0,8

РЕШЕНИЕ:

Одним из участников рассматриваемой ситуации является фермер, который должен вносить удобрения в почву для получения хорошего урожая пшеницы. Если описанной ситуации придать игровую схему, то фермер выступит в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в максимизации прибыли с 1 гектара земли. Вторым участником является в буквальном смысле природа (игрок П), то есть внешние природные условия.

Так как фермер на 1 гектар земли может вносить разное количество центнеров удобрений, то чистыми стратегиями игрока А будут следующие стратегии:

– А₁: вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли;

– А₂: вносить 4 ц. удобрений на 1 гектар земли;

– А₃: вносить 6 ц. удобрений на 1 гектар земли.

Природа может реализовать одно из трех состояний: П₁, П₂, П₃.

Таким образом, платежная матрица игры будет иметь размер 3х3.

Вычисляем значении прибыли по формуле:

, .

h₁₁ = 9*5 – 4*2 = 37; h₂₃ = 5*9 – 4*4 = 29;

h₁₂ = 9*9 – 4*2 = 73; h₃₁ = 3*13 – 4*6 = 15;

h₁₃ = 9*6 – 4*2 = 46; h₃₂ = 3*15 – 4*6 = 21;

h₂₁ = 5*10 – 4*4 = 34; h₃₃ = 3*11 – 4*6 = 9;

h₂₂ = 5*12 – 4*4 = 44;

Итак, платежная матрица принимает вид (таблица 4.1)

	37	73	46
	34	44	29
	15	21	9

В платежной матрице нет доминируемых стратегий игрока А, поэтому матрица не требует упрощений.

а) для определения оптимальной стратегии игрока Апо критерию Байеса вычислим среднее значение (математическое ожидание) выигрыша при использовании каждой из возможных стратегий по формуле:

. Получаем:

= 37*0,3 + 73*0,4 + 46*0,3 = 54,1;

= 34*0,3 + 44*0,4 + 29*0,3 = 36,5;