Моделювання поведінки виробників та споживачів
1. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ
В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:
max u(x) (1.1)
px = M
де х=(х1,...,хn)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n – число різноманітних товарів; u(х) – функція корисності споживача; р = (p1,…,pn) – вектор-рядок цін товарів; М – обсяг доходу споживача.
Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:
L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).
Необхідними умовами локального екстремуму є:
(1.2) 
(1.3)Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)= 
є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір
, що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін: 
Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно
, отримаємо функцію попиту споживача: 
2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО
Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на
. Це приводить до такої зміни попиту на товари 
(2.1)де р – вектор-рядок цін; U – матриця Гессе;
– вектор-стовпчик попиту на товари; 
– множник Лагранжа; 
– індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).
Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину
, яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:
(2.2)Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на
компенсується збільшенням доходу на 
.Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на
, то відповідно змінюється попит: 
(2.3)Об’єднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:
(2.4)Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.
Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.
Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.
Графік представлено на малюнку 2.1
Малюнок 2.1 - Графік
3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ
Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиницьпродукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = (х1, ..., хn)′. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:
Х=F(х).
Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд’ємно визначеною.
Якщо
–вектор-рядок цін ресурсів, а р – цінапродукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток: 
(3.1)У (3.1)
–вартість річного випуску фірми,або її річний дохід, 
– витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:
(3.2)Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності:
Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера: 
(3.3)Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто
, то умови (3.3) матимуть вигляд: 
(3.4)тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.
Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат
(3.5)Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа
і знайдемо її максимум за умови невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:
(3.6)Як бачимо, якщо покласти
, умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).