Модель рыночной экономики Кейнса 2 (стр. 3 из 4)

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ

2.1. Постановка задачи

В данной работе необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:

C_t = a + b*Y_t + u_t ; (2.1)

Y_t = C_t + I_t, (2.2)

где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (2.1), (2.2) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t₁-t_n;

u_t – случайная составляющая;

C_t, Y_t – функции потребления и дохода, соответственно являющиеся эндогенными переменными;

I_t – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.

Переменные C_t и Y_t являются эндогенными. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри уравнения регрессии, внутри модели. В качестве экзогенной переменной в данной задаче выступают инвестиции I_t. Экзогенной является та переменная, значение которой определяется вне уравнения регрессии, вне модели и поэтому берется как заданная.

Параметры уравнения регрессии необходимо определить двумя способами:

· косвенным методом наименьших квадратов;

· прямым методом наименьших квадратов.

2.2. Определение параметров уравнения регрессии с

использованием КМНК

Исходные значения величин C_t и I_t представлены в таблице 5:

Таблица 5

t	Ct	It
1	220063	85000
2	231828	78115
3	207359	71230
4	218337	64345
5	207851	57460
6	202994	50575
7	195524	43690
8	203944	36805
9	201672	29920
10	186648	23035
11	187864	16150
12	185659	9265
13	193932	2380
14	187232	85

Методом наименьших квадратов (МНК) из уравнения (2.1) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещёнными. В связи с этим необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

Для этого эндогенные переменные C_t, Y_t выражаем через экзогенную переменную I_t. С этой целью подставляем выражение (2.1) в (2.2):

Y_t = a+b*Y_t + u_t +I_t, (2.3)

отсюда получаем:

(2.4)

Подставляем выражение (2.4) в уравнение (2.1) и получаем:

(2.5)

Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде I_t (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей u_t и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.

Представим это уравнение в следующем виде:

(2.6)

где

(2.7)

Используя имеющиеся в таблице 5 данные о величинах C_t и I_t, находим с помощью МНК несмещенные оценки a* и b* из уравнения:

C_t = a¹+b¹I_t , (2.8)

где a¹ - несмещенная оценка a*;

b¹- несмещенная оценка b*.

Для этих целей применяем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: «Сервис» – «Анализ данных» – «Регрессия».

a1	b1
184280,63	0,44

После определения значений a¹ и b¹ необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, использовав соотношения:

, (2.9)

где a", b" – соответственно несмещенные оценки a, b.

Сами значения величин a", b" определяем по формулам:

(2.10)

a"	b"
127811,09	0,31

Использовав найденные значения a" и b", записываем уравнение функции потребления (2.1):

C(t)= 127811,09 + 0,31*Y_t+u_t.

Сравниваем найденные по формуле (2.10) значения a" и b" с величинами a и b, заданными в таблице 1 (a_табл. = 127500, b_табл. = 0,31) и рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:

(2.11)

,

.

2.3. Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК

Для определения параметров уравнения регрессии с помощью прямого МНК, необходимо определить по формуле (2.2)значения величин Y_t (для t в пределах от t1 до t14), используя значения C_t и I_t из таблицы 5. Полученные значения заносим в таблицу 6.

Таблица 6

t	Yt
1	305063
2	309943
3	278589
4	282682
5	265311
6	253569
7	239214
8	240749
9	231592
10	209683
11	204014
12	194924
13	196312
14	187317

Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения C_t и Y_t, определяем с помощью МНК смещённые оценки a^см и b^см величин a и b, используя уравнение (2.1). Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В рассматриваемой задаче:

aсм	bсм
123638,32	0,32

Далее сравниваем полученные значения a^см и b^см с табличными значениями a и b, и находим проценты несовпадения данных величин по формулам:

(2.12)

,

.

2.4. Экономический анализ полученных результатов

Сравнивая значения процентов несовпадения параметров модели, полученных в случае определения уравнения регрессии с помощью КМНК (для a – 0,24%, для b –1,15%) и с помощью МНК (для a –3,03%, для b –4,39%), видно, что в первом случае проценты несовпадения значительно меньше, чем во втором. Это говорит о том, что при использовании КМНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью МНК.

Оценка достоверности зависимости C_t от a и b производится по величине R² (коэффициент множественной детерминации). Полученное в первом случае значение R² = 0,79 меньше значения R² = 0,90, полученного во втором случае. Но оба эти значения близки к единице и подтверждают достоверность наличия зависимости. Во втором случае достоверность зависимости выше.