Моделирование экономики (стр. 3 из 5)

Вид продукции	1	2	…….
1
2
…….	…….	…….	…….	…….	…….

которую можно привести к виду

.

Если

, то есть ЭС использует весь валовый продукт на собственные нужды, то такая экономика и ее модель называются закрытыми. Если вырабатывается хоть один вид, ненулевой конечной продукции, то экономика и ее модель называются открытыми.

Модель Леонтьева можно использовать для того, чтобы:

1) вычислить по заданному количеству конечной продукции (

) необходимое количество валовой продукции ( ).

2) При заданном уровне выпуска валовой продукции (

) вычислить сколько будет конечного продукта ( ).

3) Исследовать влияние изменения технологии на производство, то есть вычислить как влияют изменения

на и .

Для удобства математического исследования модель записывают в векторно-матричной форме

,

или в виде

,

где

- единичная матрица размера , ,

- символ Кронекера.

«дельта»

а - производственная матрица ЭС.

С точки зрения общей теории управления задача 2) известна как задача наблюдения для модели, которая отображает процесс распределения валовой продукции.

Задача анализа

Задача синтеза

(показывает процесс планирования валовой продукции

по заданному вектору конечной продукции ).

Существование единого решения такой системы связано с существованием обратной матрицы. Матрица

называется обратной матрицей Леонтьева или матричным мультипликатором модели (сокращенно мультипликатором Леонтьева).

По содержанию матрица

является матрицей коэффициентов полных затрат, так как экономическое объяснение ее элементов следующее:

показывает потребность в валовой продукции -й отрасли для производства единицы конечной продукции -й отрасли.

Произведение матрицы

на вектор конечного продукта равняется .

Решение задачи синтеза

имеет вид:

,

Возникает вопрос относительно условий, при которых существует матрица

, для любого неотрицательного вектора , вектор также неотрицателен. В этом случае матрица называется продуктивной. Матрица , называется неотрицательной, если все ее элементы неотрицательны. Матрица любой ЭС по определению должна быть неотрицательной.

Условия продуктивности неотрицательной матрицы:

1) max собственное число матрицы

, - собственный вектор.

2)

имеет неотрицательную обратную матрицу .

3) Матричный ряд

.

(ряд Неймана) матрицы

сходится (при этом ).

4) последовательные главные миноры матрицы

положительные.

С 3) выплывает, что решение задачи синтеза можно получить итерационно, вычисляя по формуле:

,

,

где приблизительное решение задачи

, с номером - по предыдущему решению .

Поиск собственных чисел матрицы

,

где

- собственный вектор.

Пример: Дана матрица

. Найти и

и связаны уравнением

.