Оптимизация расстановки транспортных средств на открытых автостоянках в интересах Государственной противопожарной службы (стр. 2 из 11)

1.2 Описание предметной области и постановка задачи

Рассмотрим случайный процесс, в котором автомобили длиной «1» паркуются на отрезке

где . Первый автомобиль размещается так, что положение его центра – случайная переменная, имеющая равномерное распределение на отрезке .

, (a=1)

Если остается пространство для размещения второго автомобиля, то он паркуется так, что его центр – случайная величина, распределенная на отрезке

, с расстоянием от первого автомобиля.

Если на данном отрезке парковки остается пустой промежуток длины

, то паркуется третий автомобиль. Его центр – случайная величина, распределенная равномерно, расстояние до разместившихся машин и так далее до конца отрезка, возможного для парковки.

Обозначим через

число машин, занявших место на стоянке. Тогда для и определено для всех .

Выводы по главе

-задача парковки сводится к исследованию распределения целочисленной случайной величины

при ;

-итогом решения задачи является то, что при достаточно больших

автомобили заполняют интервал на 74,8%.

2. Математические методы решения задачи парковки

2.1 Решение задачи парковки

A. Renyiв работе [1] доказал, что математическое ожидание

.

удовлетворяет соотношению (2.1.1)

где постоянная

, (2.1.2)

В работе [2] соотношение (2.1.1)

(2.1.3)

и доказано, что среднее квадратическое отклонение

удовлетворяет соотношению

(2.1.4)

где

- некоторая постоянная величина.

Кроме того, доказано, что стандартная случайная величина

имеет предельное нормальное распределение с параметрами от (0,1) при

.

Доказывается двумя способами:

а) все моменты

сходятся к нормальным моментам при ;

б) непосредственное применение центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин.

а) нормальное распределение:

плотность вероятности

функция распределения

б) центральная предельная теорема:

Если

, … - независимо одинаково распределенные случайные величины, и имеющие математическое ожидание и дисперсию , то при закон распределения суммы : неограниченно приближается к нормальному [6]:

Для решения задачи парковки рассматриваются некоторые интегральные уравнения.

Пусть для

интервал будет случайным интервалом, занятым первой машиной, вставшей на стоянку на отрезке длины . Процесс парковки таков, что число машин, которые будут в конце концов размещены от первой, не зависят от числа машин, которые уже размещены на стоянке. При этом число машин, размещенных на отрезке , имеют распределение , а число машин на отрезке имеют распределение . Следовательно, условное распределение , при условии, что первая машина занимает такое же, как распределение , где и независимы, тогда

(2.1.5)

Так как

равномерно распределено на , то (2.1.6)

и для

выполняется интегральное уравнение:

парковка автостоянка математический оптимизация

, (2.1.7)

Введем функцию

(2.1.8)

Для

можно записать более простое интегральное уравнение:

(2.1.9)

Начальные условия:

при и (2.1.10)

тогда можно определить

последовательно на интервалах , ,...

Вычислим

на интервале :