Основы теории подобия (метод обобщенных переменных) (стр. 2 из 2)
Третья теорема подобия (теорема Киринчен-Гухмана): явления подобны, если их определяющие критерии равны.
Следствием равенства определяющих критериев подобия является равенство и определяемых критериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытов критериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в том числе и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать, что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении опытов.
Таким образом, для исследования технологических процессов методом подобия необходимо:
1. выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности, описывающие данный процесс; затем путем преобразования найти критерии подобия;
2. опытным путем с помощью моделей установить зависимость между критериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всех подобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия.
Преобразование дифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующем порядке:
1. каждый из членов дифференциального уравнения умножается на соответствующие константы подобия кτ, кv, кlит.д.;
2. полученные коэффициенты перед членами уравнения для соблюдения тождественности приравниваются;
3. в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяются соответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являются критериями подобия.
В табл. 1 приведены основные критерии гидродинамического подобия, которые будут равны для сходственных точек натуры и модели, если они подобны.
Таблица 1 - Основные критерии гидродинамического подобия
| Критерий | Выражение критерия | Характеристика критериев | Единицы измерения входящих в критерии подобия величин |
| Кинематический (критерий Рейнольдса) | Rе=υl/ν= υlρ/μ | Характеризует меру соотношения сил инерции и сил трения | υ- скорость, м/с; l- определяющий размер, м; ρ- плотность, кг/м3;μ - динамическая вязкость, Па-с; ν - кинематическая вязкость, м2/с; g- ускорение свободного падения, м/с2;р - давление, Па;τ-время, с |
| Гравитационный (критерий Фруда) | Fr =υ2/gl | Характеризует меру соотношения сил инерции и сил тяжести | |
| Гидравлического сопротивления (критерий Эйлера) | Еu =∆p/ρ υ2 | Характеризует меру соотношения сил гидростатического давления и сил инерции | |
| Гомохронности | Но =υτ/l | Характеризует неустановившееся движение жидкости |
Таким образом, дифференциальное уравнение Навье - Стокса, описывающее движение вязкой жидкости, может быть представлено в виде критериального уравнения:
f(Rе, Но, Fr, Еu) = 0 (8)
Уравнение (8) является обобщенным критериальным уравнением гидродинамики. Все критерии уравнения (8), кроме критерия Ей, являются определяющими, так как они составлены из величин, входящих в условия однозначности. Критерий Эйлера, в который входит величина ∆р, являющаяся целью расчета, будет определяемым критерием.
Тогда
Еu = f(Rе, Но, Fr) или
Еu = AНосRетFrп, (9)
где А,c,т,п- эмпирические показатели.
В ряде случаев уравнение (19) дополняют геометрическим симплексом l/d:
Еu = AНосRетFrп(l/d)b, (10)
где b- эмпирический показатель.
При установившемся движении критерий Но исключается из критериального уравнения:
Еu = ARетFrп(l/d)b. (11)
В случае, если скорость движения жидкости не определена, в расчеты вводят производные или модифицированные критерии подобия, составленные из основных критериев. В этих критериях подобия неизвестная величина υ заменяется другими величинами, которые сравнительно легко определяются экспериментально или аналитически.
Возьмем отношение критериев Rе и Fr:
(12)Полученный безразмерный комплекс величин называется критерием Галилея. Если умножить этот критерий на отношение (ρ1-ρ2)/ρ2, то получается новый критерий подобия — критерий Архимеда
(13)где ρ1,ρ2— плотности жидкости в разных точках, кг/м3.