Математичне програмування (стр. 3 из 3)

Тепер необхідно перемістити продукцію в межах побудованого циклу. З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (1, 3) = 60. Додаємо 60 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 60 з х_ij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Для цього у порожню клітинку (1;5) переносимо менше з чисел х_ij, які розміщені в клітинках зі знаком «–». Одночасно це саме число х_ij додаємо до відповідних чисел, що розміщені в клітинках зі знаком «+», та віднімаємо від чисел, що розміщені в клітинках, позначених знаком «–».

Усі інші заповнені клітинки першої таблиці, які не входили до циклу, переписуємо у другу таблицю без змін. Кількість заповнених клітинок у новій таблиці також має відповідати умові невиродженості плану, тобто дорівнювати (n + m – 1).

Отже, другий опорний план транспортної задачі матиме такий вигляд:

A_i	B_j						u_i
b₁= 110	b₂= 80	b₃= 100	b₄=90	b₅=70	b₆=250		u_i
а₁= 250	1 110	4 [-] 80	7	9	1 [+] 60	0	u₁ = 0
а₂= 300	2	3	1 100	2 90	4 [-] 10	0 [+] 100	u₂ = 3
а₃= 150	2	1 [+]	3	1	4	0 [-] 150	u₃ = 3
v_j	v₁= 1	v₂= 4	v₃= -2	v₄= -1	v₅= 1	v₆= -3

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких u_i + v_i>c_ij

(2;1): 3 + 1 > 2; ∆₂₁ = 3 + 1 - 2 = 2

(2;2): 3 + 4 > 3; ∆₂₂ = 3 + 4 - 3 = 4

(3;1): 3 + 1 > 2; ∆₃₁ = 3 + 1 - 2 = 2

(3;2): 3 + 4 > 1; ∆₃₂ = 3 + 4 - 1 = 6

(3;4): 3 + -1 > 1; ∆₃₄ = 3 + -1 - 1 = 1

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (3;2): 1

Для цього в перспективну клітку (3;2) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (2, 5) = 10. Додаємо 10 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 10 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

A_i	B_j						u_i
b₁= 110	b₂= 80	b₃= 100	b₄=90	b₅=70	b₆=250		u_i
а₁= 250	1 110	4 [-] 70	7	9	1 70	0 [+]	u₁ = 0
а₂= 300	2	3	1 100	2 90	4	0 110	u₂ = -3
а₃= 150	2	1 [+] 10	3	1	4	0 [-] 140	u₃ = -3
v_j	v₁= 1	v₂= 4	v₃= 4	v₄= 5	v₅= 1	v₆= 3

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких u_i + v_i>c_ij

(1;6): 0 + 3 > 0; ∆₁₆ = 0 + 3 - 0 = 3

(3;4): -3 + 5 > 1; ∆₃₄ = -3 + 5 - 1 = 1

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (1;6): 0

Для цього в перспективну клітку (1;6) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (1, 2) = 70. Додаємо 70 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 70 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах.

В результаті отримаємо новий опорний план.

A_i	B_j						u_i
b₁= 110	b₂= 80	b₃= 100	b₄=90	b₅=70	b₆=250		u_i
а₁= 250	1 110	4	7	9	1 70	0 70	u₁ = 0
а₂= 300	2	3	1 100	2 [-] 90	4	0 [+] 110	u₂ = 0
а₃= 150	2	1 80	3	1 [+]	4	0 [-] 70	u₃ = 0
v_j	v₁= 1	v₂= 1	v₃= 1	v₄= 2	v₅= 1	v₆= 0

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких u_i + v_i>c_ij

(3;4): 0 + 2 > 1; ∆₃₄ = 0 + 2 - 1 = 1

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (3;4): 1

Для цього в перспективну клітку (3;4) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (3, 6) = 70. Додаємо 70 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 70 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах.

В результаті отримаємо новий опорний план.

A_i	B_j						u_i
b₁= 110	b₂= 80	b₃= 100	b₄=90	b₅=70	b₆=250		u_i
а₁= 250	1 110	4	7	9	1 70	0 70	u₁ = 0
а₂= 300	2	3	1 100	2 20	4	0 180	u₂ = 0
а₃= 150	2	1 80	3	1 70	4	0	u₃ = -1
v_j	v₁= 1	v₂= 2	v₃= 1	v₄= 2	v₅= 1	v₆= 0

Перевіримо оптимальність опорного плану, тобто повторюємо описані раніше дії.

Знайдемо потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний.

Мінімальні витрати складуть:

F(x) = 1*110 + 1*70 + 0*70 + 1*100 + 2*20 + 0*180 + 1*80 + 1*70 = 470

За оптимальним планом перевезень загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 470 грн.

Завдання 4

Знайти графічним методом екстремуми функцій в області, визначеній нерівностями.

Розв’язок

Побудуємо область допустимих рішень, тобто вирішимо графічно систему нерівностей. Для цього побудуємо кожну пряму і визначимо півплощини, задані нерівностями (півплощини позначені штрихом).

Межі області

Цільова функція F(x) =>max

Розглянемо цільову функцію завдання F = 3X₁+6X₂ =>max.

Побудуємо пряму, що відповідає значенню функції F = 0: F = 3X₁+6X₂ = 0. Будемо рухати цю пряму паралельним чином. Оскільки нас цікавить максимальне рішення, тому рухався прямо до останнього торкання позначеної області. На графіку ця пряма позначена пунктирною лінією.

Рівний масштаб

Перетином півплощини буде область, яка представляє собою багатокутник, координати точок якого задовольняють умові нерівностей системи обмежень задачі.

Пряма F(x) = const перетинає область у точці B. Оскільки точка B отримана в результаті перетину прямих 1 i 5, то її координати задовольняють рівнянням цих прямих:

x₁+x₂≤6

x₁=0

Вирішивши систему рівнянь, одержимо: x₁ = 0, x₂ = 6

Звідки знайдемо максимальне значення цільової функції:

F(X) = 3*0 + 6*6 = 36