Методы построения функции принадлежности требований к заданному уровню качества (стр. 2 из 2)

Если опорным элементом является элемент х1 Î Х с принадлежностью m 1, то

(15)

Для опорного элемента х2 Î Х с принадлежностью m 2, получаем

(16)

Для опорного элемента хn Î Х с принадлежностью m n, имеем

(17)

Учитывая условие нормировки (14) из соотношений (15) – (17) находим:

(18)

Полученные формулы (18) дают возможность вычислять степени принадлежности m S(xi) двумя независимыми путями:

- по абсолютным оценкам уровней ri

, , которые определяются по 9-ти бальной шкале (1 – наименьший ранг, 9 – наибольший ранг).

- по относительным оценкам рангов

которые образуют матрицу:

(19)

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е. аiі=1

;

б) элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью: аij=1/аji;

в) она транзитивна, т.е. аiк× акi, поскольку

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы А легко определить элементы всех других строк. Если известна r-я строка, т.е. элементы акj, k

, , то произвольный элемент аij находиться так

Поскольку матрица (19) может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 – ти бальную шкалу Саати: . Эта шкала приведена ранее, в табл. 1.

Таким образом, с помощью полученных формул (6.5.18), экспертные значения о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.

Алгоритм построения функции принадлежности включает в себя следующие операции:

1. Задать лингвистическую переменную;

2. Определить универсальное множество, на котором задается лингвистическая переменная;

3. Задать совокупность нечетких термов {S1, S2, ... , Sm}, которые используются для оценки переменной;

4. Для каждого терма Sj

, сформировать матрицу (19);

5. Используя формулы (18) вычислить элементы функций принадлежности для каждого терма.

Нормирование найденных функций осуществляется путем деления на наибольшие степени принадлежности.

Главным преимуществом метода является то, что в отличие от метода парных сравнений, он не требует решения характеристического уравнения. Полученные соотношения дают возможность вычислять функции принадлежности с использованием ранговых оценок, которые достаточно легко получить при экспертном опросе.

Кроме описанных методов построения функций принадлежности, нашедших наиболее широкое практическое применение, имеется еще значительное число методов, описанных в литературе (метод интервальных оценок, метод семантического дифференциала и т.д.).

При выборе метода необходимо учитывать, как правило, сложность получения экспертной информации, особенно организации и проведения экспертизы, достоверность экспертной информации, трудоемкость алгоритма обработки информации при построении функции принадлежности.

В нашем случае функция принадлежности m (xi,j), входящая в формулу (4) для оценки качества системы защиты информации, характеризует лингвистическую переменную "степень выполнения j-го требования при защите от i-ой угрозы". В заключение рассмотрим пример построения функции принадлежности m (хij)=m (xi) методом Ротштейна.

Рассмотрим лингвистическую переменную "качество", характеризуемое степенью выполнения некоторого требования. Эта лингвистическая переменная определена на универсальном множестве вариантов: хі,

. Уровень качества будем оценивать такими нечеткими термами: Н – низкий; С – средний; В – высокий.

Пусть в результате экспертного опроса сформированы матрицы (19) для каждого терма. При сравнении вариантов используется табл. 1.

матрица статистический ранговый лингвистическая переменная

После обработки этих матриц по формулам (18) получим функции принадлежности.