Математические методы оптимизации (стр. 2 из 4)
Следовательно, изделие А производится в количестве
ед., изделие В производится в количестве 
ед., время обработки на каждой из линий используется полностью ( 
).Графическое решение задачи
Рассмотрим задачу в стандартной форме: найти переменные
, которые обеспечивают максимальное значение функции 
при ограничениях
На горизонтальной оси прямоугольной системы координат будем откладывать план выпуска продукции
, а на вертикальной – план выпуска второй продукции 
.Рассмотрим первое ограничение
. Множество точек, удовлетворяющих равенству 
, образует прямую на плоскости. Построим эту прямую по её точкам пересечения с осями координат. Для определения координат точки А пересечения с осью 
в уравнение подставим 
. Из него следует 
, т.е 
. Для определения координат точки В пересечения с осью 
в уравнение подставим 
. Из него следует 
, т.е. 
. Неравенству удовлетворяют все точки одной из полуплоскостей, которые образовала построенная прямая. Для её определения достаточно проверить справедливость неравенства для одной точки. Для начала координат 
неравенство выполняется. Следовательно, все точки полуплоскости, содержащей начало координат, будут графическим изображением этого неравенства. Аналогично построим прямую 
по её точкам пересечения с осями координат: 
. Все точки полуплоскости, содержащей начало координат будут графическим изображением неравенства 
. Учитывая ограничения на знак 
, множество точек четырёхугольника 
является множеством всех допустимых решений. Все угловые точки (крайние точки) четырёхугольника соответствуют допустимым базисным решениям:угловая точка
соответствует базисному решению 
, 
, 
;угловая точка
соответствует базисному решению , , 
, 
;угловая точка
соответствует базисному решению 
, 
, , 
;угловая точка
соответствует базисному решению , 
, 
, .
Теперь графически найдём точку четырёхугольника
, которая определит оптимальное решение.Из теорем математического анализа следует, что оптимальное решение следует искать только среди точек границы четырёхугольника
. Для её определения в начале координат построим вектор 
, координаты которого являются рыночными ценами. Прямая 
проходит через начало координат перпендикулярно вектору . Она определяет все планы, в которых выручка равна 0. Вектор указывает направление возрастания выручки. Если прямую нулевой выручки (розовая линия) перемещать параллельно в направлении вектора , то значение выручки будет увеличиваться. Так как среди внутренних точек четырёхугольника оптимального решения не может быть, то прямую нужно переместить до границы четырёхугольника , т.е. до точки 
.
Таким образом, точка
определяет оптимальное решение. Соответствующее точке базисное решение 
является оптимальным решением. Максимальная выручка будет равна
. Уравнение 
определяет уравнение максимальной выручки (верхняя розовая линия).