Економіко-математичне програмування (стр. 1 из 3)
Завдання 1
Побудувати математичну модель задачі.
На підприємстві виготовляються вироби двох видів А і В. Для цього використовується сировина чотирьох типів – І, ІІ, ІІІ, ІV, запаси якої дорівнюють, відповідно, 21; 4; 6; 10 од. Для виготовлення одного виробу А необхідна така кількість одиниць сировини чотирьох видів: 2; 1; 0; 2. Для виробу В – 3; 0; 1; 1 од. відповідно. Випуск одного виробу А дає 3 грн. од. прибутку, типу В – 2 грн. од. Скласти план виробництва, який забезпечує найбільший прибуток.
| Сировина | Норма витрат сировини, од | Запаси сировини, од. | |
| А | В | ||
| І | 2 | 3 | 21 |
| ІІ | 1 | 0 | 4 |
| ІІІ | 0 | 1 | 6 |
| ІV | 2 | 1 | 10 |
| Ціна, грн. од. | 3 | 2 | |
Розв’язок
Складаємо математичну модель задачі. Позначимо через х1 кількість виробів 1-ї моделі, що виготовляє підприємство за деяким планом, а через х2 кількість виробів 2-ї моделі. Тоді прибуток, отриманий підприємством від реалізації цих виробів, складає
∫ = 3х1+2х2.
Витрати сировини на виготовлення такої кількості виробів складають відповідно:
CI =2х1 + 3х2,
CII =1х1 + 0х2,
CIII =0х1 + 1х2,
CIV =2х1 + 1х2,
Оскільки запаси сировини обмежені, то повинні виконуватись нерівності:
2х1 + 3х2≤ 21
1х1≤ 4
1х2≤ 6
2х1 + 1х2≤ 10
Оскільки, кількість виробів є величина невід'ємна, то додатково повинні виконуватись ще нерівності: х1> 0, х2> 0.
Таким чином, приходимо до математичної моделі (задачі лінійного програмування):
Знайти х1 , х2 такі, що функція ∫ = 3х1+2х2досягає максимуму при системі обмежень:
Розв'язуємо задачу лінійного програмування симплексним методом.
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних. Оскільки маємо змішані умови-обмеження, то введемо штучні змінні x.
2x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 21
1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 4
0x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 6
2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 10
де х1,...,х6>0
Для постановки задачі на максимум цільову функцію запишемо так:
F(X) = 3 x1 +2 x2 - M x6 =>max
Оскільки завдання вирішується на максимум, то ведучий стовпець вибираємо по максимальному негативному кількістю та індексного рядку. Всі перетворення проводять до тих пір, поки не вийдуть в індексному рядку позитивні елементи.
Складаємо симплекс-таблицю:
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | min |
| 1 | x3 | 21 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 10.5 |
| x6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | |
| x4 | 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| x5 | 10 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 5 | |
| Індексний рядок | F(X1) | -400000 | -100003 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Оскільки, в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | min |
| 2 | x3 | 13 | 0 | 3 | 1 | 0 | 0 | -2 | 4.33 |
| x1 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| x4 | 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 6 | |
| x5 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | -2 | 2 | |
| Індексний рядок | F(X2) | 12 | 0 | -2 | 0 | 0 | 0 | 100003 | 0 |
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | Min |
| 3 | x3 | 7 | 0 | 0 | 1 | 0 | -3 | 4 | 4.33 |
| x1 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| x4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | 2 | 6 | |
| x2 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | -2 | 2 | |
| Індексний рядок | F(X3) | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 99999 | 0 |
Оскільки всі оцінки >0, то знайдено оптимальний план, що забезпечує максимальний прибуток: х1=4, х2=2. Прибуток, при випуску продукції за цим планом, становить 16 грн.
Завдання 2
Записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розв’язати одну із задач симплексним методом і визначити оптимальний план іншої задачі. Оптимальні результати перевірити графічно.
Розв’язок
Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексного таблиці.
Визначимо мінімальне значення цільової функції F(X) = 3x1+2x2 за таких умов-обмежень.
2x1+4x2≥10
3x1+2x2≥11
4x1+7x2≤32
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей наведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної форми).
2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 + 0x5 = 10
3x1 + 2x2 + 0x3-1x4 + 0x5 = 11
4x1 + 7x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 32
Введемо штучні змінні x.
2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 10
3x1 + 2x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 11
4x1 + 7x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 32
Для постановки завдання на мінімум цільову функцію запишемо так:
F(X) = 3x1+2x2+Mx6+Mx7 => min
За використання штучних змінних, що вводяться в цільову функцію, накладається так званий штраф величиною М, дуже велике позитивне число, яке зазвичай не задається.
Отриманий базис називається штучним, а метод рішення називається методом штучного базису.
Причому штучні змінні не мають відношення до змісту поставленого завдання, однак вони дозволяють побудувати стартову точку, а процес оптимізації змушує ці змінні приймати нульові значення та забезпечити допустимість оптимального рішення.
З рівнянь висловлюємо штучні змінні:
x6 = 10-2x1-4x2+x3
x7 = 11-3x1-2x2+x4
які підставимо в цільову функцію:
F(X) = 3x1 + 2x2 + M(10-2x1-4x2+x3) + M(11-3x1-2x2+x4) => min
або
F(X) = (3-5M)x1+(2-6M)x2+(1M)x3+(1M)x4+(21M) => min
Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:
| 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 2 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 7 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Базисні перемінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і при тому з одиничним коефіцієнтом.
Вирішимо систему рівнянь відносно базисних змінних:
x6, x7, x5,
Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:
X1 = (0,0,0,0,32,10,11)
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
| 0 | x6 | 10 | 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| x7 | 11 | 3 | 2 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| x5 | 32 | 4 | 7 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| Індекснийрядок | F(X0) | 21M | -3+5M | -2+6M | -1M | -1M | 0 | 0 | 0 |
Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | min |
| 1 | x6 | 10 | 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2.5 |
| x7 | 11 | 3 | 2 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 5.5 | |
| x5 | 32 | 4 | 7 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4.57 | |
| Індекснийрядок | F(X1) | 21M | -3+5M | -2+6M | -1M | -1M | 0 | 0 | 0 | 0 |
Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | min |
| 2 | x2 | 2.5 | 0.5 | 1 | -0.25 | 0 | 0 | 0.25 | 0 | 5 |
| x7 | 6 | 2 | 0 | 0.5 | -1 | 0 | -0.5 | 1 | 3 | |
| x5 | 14.5 | 0.5 | 0 | 1.75 | 0 | 1 | -1.75 | 0 | 29 | |
| Індекснийрядок | F(X2) | 5+6M | -2+2M | 0 | -0.5+0.5M | -1M | 0 | 0.5-1.5M | 0 | 0 |
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
| 3 | x2 | 1 | 0 | 1 | -0.375 | 0.25 | 0 | 0.375 | -0.25 |
| x1 | 3 | 1 | 0 | 0.25 | -0.5 | 0 | -0.25 | 0.5 | |
| x5 | 13 | 0 | 0 | 1.63 | 0.25 | 1 | -1.63 | -0.25 | |
| Індекснийрядок | F(X3) | 11 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | -1M | 1-1M |
Остаточний варіант симплекс-таблиці оптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.