Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента (стр. 5 из 6)
где nu – количество дублей в каждом опыте (nu = 3); N – количество опытов (N = 8);
- средняя дисперсия эксперимента.Если ряд дисперсий однороден, средняя дисперсия эксперимента рассчитывается по уравнению:
, (11)где
- значения построчных дисперсий (табл. 4).Если ряд дисперсий неоднороден (значения функции отклика в разных опытах определены с различной точностью), но в результатах измерений значений функции отклика отсутствуют грубые ошибки и промахи, в качестве средней дисперсии эксперимента принимается максимальная построчная дисперсия. В соответствии с данными табл. 4 максимальная построчная дисперсия получена в первом опыте:
. Ее значение и принимаем как среднюю дисперсию эксперимента: 
. Тогда дисперсия оценок коэффициентов регрессии равна 
Среднеквадратичная ошибка
оценки коэффициентов регрессии определяется как: 
. (12)Для рассматриваемого случая
Рассчитаем доверительный интервал коэффициентов регрессии
: 
, (13)где
- критерий Стьюдента, зависящий от уровня значимости a и числа степеней свободы f2 при определении дисперсии эксперимента: 
Для полного факторного эксперимента 23 f2 = (3-1)×8 = 16.
Выбрав уровень значимости a = 0,05, при числе степеней свободы f2 = 16 из табл. Б1 (приложение Б) найдем табличное значение критерия Стьюдента (t-критерия) t0,05;16 = 2,12. По выражению (13) рассчитаем доверительный интервал коэффициентов регрессии:
Коэффициенты уравнения регрессии, абсолютная величина которых равна доверительному интервалу или больше его, следует признать статистически значимыми. Т.е. для статистически значимых коэффициентов должно выполняться условие:
или 
. (14)Условие (14) означает, что абсолютные значения статистически значимых коэффициентов регрессии bi должны не менее чем в
раз превышать абсолютную ошибку их определения .Статистически значимыми коэффициентами, точность оценки которых можно считать удовлетворительной, являются коэффициенты b0, b1, b2, b12 = b4, b13 = b5, b23 = b6 и b123 = b7.
Статистически незначимые коэффициенты (b3) из модели следует исключить, поскольку их значения не могут считаться достоверными.
Подставляя значения статистически значимых коэффициентов в выражение (9), получим следующее уравнение регрессии:
. (15)6. Проверка адекватности модели
Процедура проверки адекватности модели сводится к выполнению ряда последовательных вычислений:
1. Расчет теоретических значений функции отклика в каждом опыте по уравнению (15).
2. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений функции отклика и нахождение дисперсии неадекватности.
3. Расчет критерия Фишера и окончательный вывод на основе сопоставления его расчетного и табличного значений об адекватности или неадекватности модели.
С помощью полученного уравнения (15) определим расчетные значения функции отклика (удельной потери массы y). Все значения Хi в данное уравнение входят в кодовом масштабе. Например, в 4-м опыте х1 = +1, х2 = +1, х3 = -1, х4 = +1, х7 = -1 (табл. 3, 5). Тогда расчетное значение удельной потери массы в этом опыте будет равно:
у(4) = 111,9-11,03+34,5-13,14-1,83-4,13-14,89= 101,38 г/см2.
Подсчитанные таким образом значения удельной потери массы приведены в табл. 6. Данные табл. 4 будем использовать для определения дисперсии неадекватности. При равномерном дублировании экспериментов дисперсия неадекватности
определяется по зависимости: 
; 
, (16)где
и 
- значения функции отклика в u-м эксперименте, соответственно рассчитанные по уравнению регрессии и определенные экспериментально; f1 – число степеней свободы; 
- число оставленных коэффициентов уравнения регрессии, включая b0 ( 
); N - число опытов плана (N = 8). Тогда f1 = 8 - 7 = 1.Таким образом, если из регрессионной модели исключен, хотя бы один статистически незначимый коэффициент (а это неизбежно, если варьируемые факторы действительно являются независимыми переменными), массив разностей
будет содержать информацию об ошибках в предсказании значений функции отклика.Таблица 6
Сопоставление экспериментальных и расчетных данных
| Номер эксперимента, u |  |  |  |  |
| 1 | 97,3 | 66,36 | 30,94 | 957,3 |
| 2 | 127,6 | 96,7 | 30,9 | 954,8 |
| 3 | 153,7 | 183,16 | -29,46 | 867,9 |
| 4 | 71,9 | 101,38 | -29,48 | 869,1 |
| 5 | 113,7 | 84,22 | 29,48 | 869,1 |
| 6 | 91,8 | 62,32 | 29,48 | 869,1 |
| 7 | 127,1 | 157,98 | -30,88 | 953,6 |
| 8 | 112,2 | 143,08 | -30,88 | 953,6 |
В рассматриваемом случае построенная модель (15) включает шесть коэффициентов:
. Тогда в соответствии с выражением (16) 
.Гипотеза об адекватности модели (15) проверяется по критерию Фишера. Его расчетное значение находим по уравнению:
. (17) 
.Из выражения (17) следует, что расчетное значение критерия Фишера представляет собой отношение дисперсии неадекватности к дисперсии опыта. По сути дела он позволяет ответить на вопрос: во сколько раз модель предсказывает значения функции отклика хуже по сравнению с опытом? Тогда табличное значение критерия Фишера должно регламентировать допустимое отклонение расчетных значений функции отклика относительно опытных данных.
Табличное значение критерия Фишера определяется в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы f1 и f2, определенных ранее: F(a; f1; f2). При уровне значимости a = 0,05 табличное значение F - критерия (табл. В1, приложение В) равно
.7. Анализ модели
Все соображения о направлении и силе влияния изученных факторов на износостойкость чугунных тормозных колодок можно высказать только для выбранных интервалов их изменения.
Из анализа полученного уравнения регрессии (15), можно сделать вывод о том, что наиболее существенно увеличивает износостойкость фактор X3(С), а значит, для изготовления тормозных колодок следует использовать чугун с максимальным содержанием углерода: 3,8 мас. %.
Установлено, что наименьшие удельные потери массы (0,071 г/cм2) получены на образце № 7 (Al - 2,5 %, Mn - 12 %, С - 3,8 %) (табл. 6).
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблица А1
Критические значения G-критерия (критерия Кохрена) при уровне значимости a = 0,05
| Число опытов, N | Число степеней свободы,  | ||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 16 | 36 | 144 | |
| 2 | 0,999 | 0,975 | 0,939 | 0,906 | 0,858 | 0,853 | 0,833 | 0,816 | 0,801 | 0,788 | 0,734 | 0,66 | 0,581 |
| 3 | 0,967 | 0,871 | 0,798 | 0,746 | 0,707 | 0,677 | 0,653 | 0,633 | 0,617 | 0,603 | 0,547 | 0,475 | 0,403 |
| 4 | 0,907 | 0,768 | 0,684 | 0,629 | 0,59 | 0,56 | 0,537 | 0,518 | 0,502 | 0,488 | 0,437 | 0,372 | 0,309 |
| 5 | 0,841 | 0,684 | 0,598 | 0,544 | 0,506 | 0,478 | 0,456 | 0,439 | 0,424 | 0,412 | 0,365 | 0,307 | 0,251 |
| 6 | 0,781 | 0,616 | 0,532 | 0,48 | 0,445 | 0,418 | 0,398 | 0,382 | 0,368 | 0,357 | 0,314 | 0,261 | 0,212 |
| 7 | 0,727 | 0,561 | 0,48 | 0,431 | 0,391 | 0,373 | 0,356 | 0,338 | 0,325 | 0,315 | 0,276 | 0,228 | 0,183 |
| 8 | 0,68 | 0,516 | 0,438 | 0,391 | 0,36 | 0,336 | 0,319 | 0,304 | 0,293 | 0,283 | 0,246 | 0,202 | 0,162 |
| 9 | 0,64 | 0,478 | 0,403 | 0,358 | 0,329 | 0,307 | 0,29 | 0,277 | 0,266 | 0,257 | 0,223 | 0,182 | 0,145 |
| 10 | 0,602 | 0,445 | 0,373 | 0,331 | 0,303 | 0,282 | 0,267 | 0,254 | 0,244 | 0,235 | 0,203 | 0,166 | 0,131 |
| 12 | 0,541 | 0,392 | 0,326 | 0,288 | 0,262 | 0,244 | 0,23 | 0,219 | 0,21 | 0,202 | 0,174 | 0,14 | 0,11 |
| 15 | 0,471 | 0,335 | 0,276 | 0,242 | 0,22 | 0,203 | 0,191 | 0,182 | 0,174 | 0,167 | 0,143 | 0,114 | 0,089 |
| 20 | 0,389 | 0,271 | 0,221 | 0,192 | 0,174 | 0,16 | 0,15 | 0,142 | 0,136 | 0,13 | 0,111 | 0,088 | 0,068 |
| 24 | 0,343 | 0,235 | 0,191 | 0,166 | 0,149 | 0,137 | 0,129 | 0,121 | 0,116 | 0,111 | 0,094 | 0,074 | 0,057 |
| 30 | 0,293 | 0,198 | 0,159 | 0,138 | 0,124 | 0,114 | 0,106 | 0,1 | 0,096 | 0,092 | 0,077 | 0,06 | 0,046 |
| 40 | 0,237 | 0,158 | 0,126 | 0,108 | 0,097 | 0,089 | 0,083 | 0,078 | 0,075 | 0,071 | 0,06 | 0,046 | 0,035 |
| 60 | 0,174 | 0,113 | 0,09 | 0,077 | 0,068 | 0,062 | 0,058 | 0,055 | 0,052 | 0,05 | 0,041 | 0,032 | 0,023 |
| 120 | 0,1 | 0,063 | 0,05 | 0,042 | 0,037 | 0,034 | 0,031 | 0,029 | 0,028 | 0,027 | 0,022 | 0,017 | 0,012 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Б